一、引言
偏好是哲学、博弈论、决策论和效益理论等学科的核心概念，偏好及其逻辑性质在行为哲学和理性选择理论中尤其占有十分重要的地位。偏好的概念使得我们对世界的看法变得多姿多彩，它驱使着我们在尘世的种种行为选择。对偏好一般原则的研究可以追溯到亚里士多德（对这个问题的历史探讨参见张家龙）。20世纪早期有不少哲学家开始利用逻辑的工具研究偏好，偏好逻辑的几个完全的逻辑系统是由浩登（Hallden）和冯莱特（von Wright）最初提出来的。（主要的技术结果和理论探索可见Hallden和von Wright）。之后，偏好逻辑得到了长足的发展，并在经济学和计算机科学中得到了广泛的应用，汉森（Hansson）在《哲学逻辑手册》的“偏好逻辑”一章中对2001年之前的偏好逻辑研究做了全面的综述（cf. Hansson 2001）。近年来，关于偏好的逻辑研究主要集中在偏好的改变（cf. de Jongh and Liu, Girard; Hansson1995; van Benthem and Liu)、偏好与知识、信念等认知概念的关系(cf. Lang, van der Torre, and Weydert)、以及偏好在社会选择中的应用(cf. Coste-Marquis, Lang, Liberatore, and Marquis)。关于偏好研究的更为抽象的思想还出现在条件句逻辑、非单调逻辑和信念修正理论等领域(例如,Rott利用偏好研究信念的修正)。这些逻辑的语义模型往往通过相对的相似性或似乎合理性来给可能世界排序。此外, 偏好逻辑也在道德哲学的最新发展中扮演着重要的角色（cf. Fehige and Wessels）。可以说, 偏好逻辑已经成为哲学和社会科学的一个重要组成部分，毫不夸张地说，我们处处都能感觉到偏好的影响。
偏好与对事物的比较紧密联系在一起，只有在比较中才能明确我们的喜好。根据实际情况，偏好可以用来比较情形、个体对象、行动、方法等等。本文的研究是笔者与荷兰的德漾(de Jongh)教授合作的英文论文(cf. de Jongh and Liu。为方便起见，以下简称“德漾文”)中所讨论的一些问题的继续，主要就其中的两个技术结果进行新的推广。首先、德漾文中所研究的偏好是基于个体对象之间的偏好。譬如，一个主体喜欢这幢房子胜于那一幢。最主要的想法是，个体对象的性质优先序列决定我们对它们的偏好。例如，房子的价格、地理位置、建筑质量等性质决定我们对不同房子的偏好。然而，除了对个体对象的比较外，不同情形之间的比较在现实生活中普遍存在。比如说，我们喜欢健康胜于疾病，健康或疾病是一些典型的情形。本文的工作之一就是要把德漾文中基于个体对象的偏好模型推广到基于情形比较（即命题）的偏好。第二、在信息完全的条件下我们可以立即得到关于个体对象的偏好，然而，不完全的信息状况在现实生活中却更为常见。因此，德漾文中在基本的偏好逻辑中引入信念，来处理不完全信息条件下的偏好。主要的思想是，我们对个体对象是否具有某种性质有自己的信念，这些信念最终决定我们的偏好。同样，本文将要把这一结果推广命题的情形，给出一个基于命题的完全的信念偏好逻辑。
文章组织结构如下：为了本文的讨论需要，我将在第二节简要回顾德漾文中的一些相关的定义和技术结果。第三节是主体内容，发展本文最主要的技术结果。第四节是在量化的角度下审视基于命题的偏好，研究命题偏好的一些进一步的性质。第五节比较关于个体对象的偏好系统与关于命题的偏好系统，并讨论其关系。第六节给出本文的结论和一些尚待解决的问题。
二、 关于个体对象的信念偏好逻辑：回顾
表达个体对象的偏好，德漾文中采用一阶逻辑语言的一个片段，其包括逻辑常项 d0, d1 ……;逻辑变元x0, x1……;和谓词P, Q, P0, P1, …… 。在多数情况下，我们考虑有穷的论域，一元谓词，和简单公式，通常不含量词或自由变元。下面我们将给出一些基本定义，对于这些定义和定理详细的背景讨论本文不会涉猎，有兴趣的读者可以参考论文德漾文：
定义2.1 优先序列就是一个有穷的多个公式（称为“优先项”）的排序，表示如下：
C1 ≫ C2 …≫ Cn (n ∈ N),
其中每个Cm (1 ≤ m ≤ n)是语言中的公式，恰有一个自由变量x是每个Cm所共有的。
我们将用一些符号如C来表示优先序列中的项。这个优先序列是线性排列的。可以理解为较早的优先项比后面的优先项更为重要，如：C1 ∧ØC2∧··· ∧Ø Cm 比ØC1 ∧C2 ∧··· ∧Cm 更受偏爱，且C1 ∧C2 ∧C3 ∧ØC4 ∧ØC5比 C1 ∧C2 ∧ØC3 ∧C4 ∧C5更受偏爱。
定义2.2 给定一个长度为n的优先序列, 两个对象x 和y, x比y更受偏爱，记作Pref(x,y)，定义如下：
Pref1(x, y) ::= C1(x) ∧ ØC1(y),
Prefk+1(x, y) ::= Prefk(x, y) ∨ (Eqk(x, y) ∧ Ck+1(x) ∧ ØCk+1(y)), k < n,
Pref(x, y) ::= Prefn(x, y),
其中辅助的二元谓词Eqk(x, y)是(C1 (x) ↔ C1 (y))∧…∧(Ck (x) ↔Ck(y))的缩写。[1]
下面我们将会用Pref表示严格偏好，用Pref表示非严格偏好，用Eq对应～，表示两个要素是等价的。显然，不管优选性质是什么，非严格偏好关系具有下面的一般性质：
(a) Pref(x, x),
(b) Pref(x, y)∨Pref(y, x),
(c) Pref(x, y)∧Pref(y, z)→ Pref(x, z).
(a),(b) 以及(c)分别表示自返性、连通性和传递性。可见，Pref 是一个准线性关系，没有对称性。不足为奇的是，(a), (b) 和(c)是关于偏好的一套完备的原则。下面，我们会把这些原则放在表示定理（representation theorem）中做进一步的解释。首先，我们将一阶偏好的语言规约到它的核心部分。
定义2.3 令Γ是命题变元的集合，D是个体对象的域，偏好逻辑的规约语言归纳定义如下：
j ::= p | Øj | j ∧ ψ | Pref(di, dj),
其中p, di分别表示Γ和D中的元素。
规约语言包含了命题演算。从现在开始，我们将带变量和谓词的语言称为扩展语言。在规约语言中，上面的公理可以重新写成：
(a) Pref(di, di),
(b) Pref(di, dj) ∨ Pref(dj, di),
(c) Pref(di, dj) ∧ Pref(dj , dk) → Pref(di, dk)
我们将这个公理系统称为 P。
定理 2.4（表示定理）⊢P j 当且仅当 j在所有从优先序列获取的模型中都有效。
证明： 从左至右的方向很明显。假定公式(d1, … ,dn, p1, … , pk) 在系统P中是不可推演的。那么存在一个非严格的准线序d1, … , dn，并且在j中有一组原子公式p1, … , pk的赋值使得j(d1, … , dn)不成立。我们假定有一个线序（容易转变为更一般的准线序），且顺序为d1 ＞ d2 ＞ … ＞ dn 。然后我们引入拓展的语言，语言中包含一元谓词P1,… , Pn，其中的优先序列为P1 ≫ P2 … ≫ Pn，并且令Pi仅仅作用于di。很明显，相对于优先序列的d1, … , dn 的偏好顺序为从左至右。这样，我们就把模型变形为想要的模型，即，其中定义的偏好关系具有需要的性质。[2] ■
以上我们所讨论的情形都是具有完全信息的情形。换句话说，关于个体对象是否具有某种属性的信息一旦给定，我们就可以得到基于这些个体对象的偏好。然而，在现实生活中，我们常常面临信息不完全的情形，而又不得不表明自己的偏好，这时，我们需要依赖自己的信念。从逻辑的角度看，我们需要用处理不确定性的信念算子Bj来拓展原来的语言，得到信念谓词逻辑语言的一个小片段。需要说明的是，也许完整的信念谓词逻辑语言能够处理更多有趣的问题，但我们在此不作进一步的研究，这个课题留待以后研究。我们将经典的KD45作为信念的逻辑。
下面我们首先给出在这种语言中偏好的定义。注意，在新的语言当中，优先序列的定义是相同的，特别是，优先性质Ci是新的语言中的公式，其中不包含信念算子。
定义 2.5（信念偏好） 给定长度为n的优先序列和两个对象x, y，Pref(x,y)定义如下：
Pref1(x, y) ::= BC1(x) ∧ ØBC1(y),
Prefk+1(x, y) ::= Prefk(x, y) ∨ (Eqk(x, y) ∧ BCk+1(x) ∧ ØBCk+1(y)), k ＜ n,
Pref(x, y) ::= Prefn(x, y),
这里， Eqk (x, y) 表示(BC1(x) ↔ BC1(y)) ∧…∧ (BCk(x) ↔ BCk(y))。
定理2.6 下面的公式恰好是公理化系统中有效的原则。
(a) Pref(di, di),
(b) Pref(di, dj) ∨ Pref(dj , di),
(c) Pref(di, dj) ∧Pref(dj, dk) →Pref(di, dk),
(1.) ØB⊥,
(2.) Bj → BBj,
(3.) ØBj → BØBj,
(4.) Pref(di, dj) ↔ BPref(di, dj).
我们把包括以上的有效公式、分离规则(MP )以及算子B的概括规则的系统称为KD45-P。需要注意的是，上面的公理（4）表明我们把偏好看作理智的一个状态，某人偏爱一事物胜过另一事物当且仅当她相信她的这种偏爱。
定义 2.7 KD45-P模型是一个五元组＜W, D, R, {≤w}w∈W ,V＞，其中W是一可能世界的集合，D是常项的集合，R是W上满足欧性和持续性的可及关系，即，它满足性质xyz((Rxy∧Rxz)→Ryz) 和 ∀x∃yRxy。对于每个w, ≤w是D上的准线性序，对于每个欧性类而言这一个关系都是一样的。V是通常意义上的赋值函数。
注意，欧性类与等价类在很多方面都极为相似，除了欧性类包含一些不自返的世界，而且有一些R关系只指向类中自返的部分（等价的部分）。
定理2.8 KD45-P系统是完全的。
证明：逻辑KD45-P的典范模型具有我们所要求的特性：信念可及关系R是欧性的并且是持续的。这意味着对于R，模型被分成了欧性类。在每个节点，Pref是常项的准线性序。在欧性类里，偏好的序关系是一致的（根据BPref ↔ Pref)，这足够证明系统的完全性。 ■
定理2.9 逻辑KD45-P具有有穷模型性。
证明： 用常规方法易证，这里省略。
定理2.10 (表示定理) ⊢KD45−P j 当且仅当 j 在由优先序列获得的所有模型中的都是有效的。
证明：假设
三、基于命题的信念偏好
本节的主要任务就是要把前一节介绍的基于个体对象的偏好扩展到关于命题的偏好，并且进一步给出信念偏好逻辑。同先前一样，我们把偏好看作理智的一个状态，某人偏爱一事物胜过另一事物当且仅当她相信她的这种偏爱。如果我们采取这样的思路，显然，利用二阶逻辑会是一个直接的选择，我们应当考虑优先序列A1(j) ≫ A2(j) ≫. . . , ≫ An(j)，其中Ai是关于命题的性质。然而，我们觉得停留在一阶语言上与我们的直观更接近。带着这个想法，我们重新定义新的命题的优先序列如下。
定义 3.1 一个命题优先序列是一个有穷的公式序列，写作
j1(x) ≫ j2(x) ≫ · · ·≫ jn(x) (n ∈ N)
其中任一jm(x)是带着一个额外的命题变元x，它对每一个jm(x)而言都是共同的命题公式。
公式j (x)可以表达命题的性质，比如，x→ p1 应用到ψ，表达ψ蕴含p1，“ψ拥有性质p
我们运用类似于定义2.5的方法来给出基于信念的偏好定义：
定义 3.2 给定一个长度为n的命题优先序列，我们定义关于命题ψ和θ的偏好如下：
Pref (ψ,θ) 当且仅当 对某个 i，
(B(j1(ψ)↔B(j1 (θ))∧···∧(B(ji−1(ψ))↔B(ji−1 (θ)))∧(B(ji(ψ)∧ØB(ji (θ))
注意：这里定义的命题间的偏好几乎是介于相互排斥的选择肢之间的偏好关系。在一般情况下，我们可以得到不同于准线序的序关系。从准线序出发我们可以得到下面的结论：如果B(ψ ↔ θ), 那么ψ是θ同样受偏爱的。否则，任何命题都可以比其它的命题更受偏爱。
为了进一步研究的目的（这一点将会在证明下面的表示定理时变得更清楚），我们需要更进一步对上面的定义进行扩展，因此我们给出一个较为复杂的定义。
定义 3.3 一个命题优先序列是个有穷的公式集的序列，写作
Φ1 ≫ Φ2 ≫ · · ·≫ Φn
其中任一集合Φi由命题公式构成，这些命题公式包含共同的一个命题变元x。
新的偏好的定义如下：
定义 3.4 给定一个长度为n的命题有穷序列，我们定义关于命题ψ和θ的偏好如下：
Pref (ψ, θ) 当且仅当 iff $i("j < I ("j ∈Φj(Bj (ψ)) ↔ $j∈Φj (Bj (θ)∧
j∈Φi(Bj (ψ)) ∧"j ∈ΦiØB(j(θ)))
把偏好和信念结合起来产生的系统记作BP，它包括下面的公理：
同样，除了上面的公理，系统还包含分离规则(MP)，以及算子B的概括规则。前三条公理对于偏好而言是标准的。我们在上一节中已经见过(d)的相似版本。(e)是新的，表明信念与偏好之间的联系。它表达了如果两个命题在可能世界上是不可区分的，那么我们对它们的偏好是相同的。很容易看出上面的公理在如下定义的模型上是有效的。
定义 3.6 BP的模型是个四元组〈W, R, {≤w}w∈W , V〉，其中W是世界的集合，R是W上的具有欧性和持续性的关系。也就是说，它满足"xyz((Rxy ∧ Rxz) → Ryz)和"x$yRxy。而且，对任一w，≤w是命题（W的子集）的准线性序，它在所有欧性类中都一样并且由在欧性类的“似乎合理的部分”中的命题所决定。V是通常意义上的赋值。
定理 3.7 相对于刚刚定义的模型，BP系统是完全的。
证明： 假设。对于只使用了θ中命题变元的公式，我们取其典范模型M = (W, R, V )。W的任一世界，都有与之联系的准线序的公式序列，它仅仅依赖于模型的最合理的部分的公式（使公式为真的世界的集合）的扩展。这个序关系在所有由R定义的欧性类中到处都是一样的。¬θ可以被拓展到极大一致集G。我们考虑由Γ生成的子模型，M′= (W′, R, V )，它当然也是一个欧性类。因为W′的任一世界都有到相同世界的可及关系，任一满足相同原子公式的世界满足相同的公式。事实上，模型中的任一公式j都与一个纯粹命题公式（不含B和Pref）等价。关于这一点，只需看到Bψ在模型中或者等价于(或等价于⊥，并且Pref(ψ, θ)也一样（注意这个论证之所以成立，是因为我们只有一个欧性类）。现在对M′使用p-同态，把满足相同公式的世界映射为一个世界。这就给出了包含一个欧性类的有穷模型，其中有一个使θ为假的恒常序。而且，每一个世界都被一个公式±p1 ∧ …∧ ±pk所刻画，表明哪些原子公式在这个世界上为真，哪些为假。结果，模型（命题）的每一个子集都是可以被一个纯粹的命题公式所定义的，公式±p1 ∧ …∧ ±pk的一个析取式描述了它所包含的元素。 ■
类似地，我们可以证明下面的表示定理。
定理 3.8（表示定理）
证明： 定义模型的所有子集的有穷多个公式的序可以表成下面的序列：
Φ1, . . . , Φk
其中Φ1是最好的命题（j, ψ ∈Φ1蕴含j
{x ↔ j | j ∈ Φ1} ≫…≫ {x ↔ j | j ∈ Φk}. ■
四、量化视角中的命题偏好
到目前为止我们所讨论的命题的偏好关系是很一般的，我们没有对偏好关系做任何的限制。然而，如果我们把命题的偏好关系看作是在可能世界集上的关系，而在可能世界上也有一个序关系，前者是从后者提升得到，那么在提升过程中我们就可以明确考虑量词的作用。这里我们只考虑一种情况，"$（全称存在量词组合）是偏好关系的提升方式。在这种情况下，主体偏好j 胜过ψ表示对所有ψ为真的世界总有一个世界在那里j是真的。对于这个偏好概念的公理化，我们需要添加如下两个公理到前面的BP系统中：
• B(j → ψ) → Pref(ψ, j).
• Pref(j, j1) ∧ Pref(j, j2) → Pref(j, j1 ∨j2)
我们将新的系统记作BP"$。
定理 4.1 系统BP"$是完全的。
证明： 证明的方法可以完全参考Halpern的证明，这里略去细节。不同的是：Halpern用了由偏好和全称模态词的组合。而我们的系统则是偏好和信念的组合。这意味着在我们的系统中受偏爱的是由模型中的更合理的部分所决定的。然而，这并不会影响完全性的整个证明。 ■
类似地，我们得到了适用于这种量化情况的表示定理：
定理 4.2（表示定理）
证明与基本系统相同。 ■
五、讨论
现在，让我们简单回顾一下本文的主要工作，德漾文提出一个逻辑系统来讨论包含信念的个体对象的偏好。本文又给出一个新的系统，来谈论关于命题的信念偏好。那么，一个自然的问题是，这两个系统之间有什么关系？下面的定理对此作出了回答。
定理 5.1 ├ KD45−P j(d1, . . . , dn) 当且仅当 ├BP j (p1, . . . , pn)，其中命题变元p1, . . . , pn 在j(d1, . . . , dn)中不出现。
证明： 为了证明这个定理，我们需要证明如下引理：
引理 5.2 如果
证明： 假定我们只有一个模型M = (W, R, V )，其中W有m个元素，m<n。取W的一个元素，比如w，并将其复制，得到w1，w2，. . . ，wk，直到我们取到至少n个元素。如果wRv，那么我们令wiRv，并且如果vRw，那么vRwi。用这个方法，我们得到至少具有n个元素的新模型。它与原来的模型是互模拟的。
现在可以证明定理5.1了。
Þ方向。 很容易看出，如果用pi代替di，那么所有的KD45-P公理和规则在BP中都是有效的。
Ü方向。 只需证明将任一只带有一个欧性类的有穷的KD45-P模型转变成至少带有n个可能世界的BP模型M′，对任一w和ψ，M′, w |= ψ(p1, . . . , pn) 当且仅当 M, w |= ψ(d1, . . . , dn)。令M = (W, R, ≤ , V )，那么M′= (W′, R,
如果我们把命题变元看作是用来表示基本命题的，那么这条定理就表明了关于个体对象偏好的推理和关于命题偏好的推理是一样的。如果我们把基本命题看作是向个体对象那样的选项，这样的结论丝毫不奇怪。当然，关于命题的偏好逻辑一般来说表达力要更强。
六、结论
本文从关于偏好概念的讨论开始，揭示其重要性。接着，文章回顾了德漾文中关于个体对象的信念偏好逻辑的基本技术结果。然后，本文把偏好的讨论范围扩展到关于情形的比较，给出了新的基于命题的偏好逻辑。在不完全信息条件下，我们给出了新的信念偏好逻辑BP，并证明了完全性。同时，我们也证明了适合这种情况下的表示定理。此外，我们还从量化的角度进一步研究偏好的形成，给出了新的带量化属性的偏好概念，以及基于这个偏好概念的完全的逻辑系统BP"$。最后，我们对关于个体对象的信念偏好逻辑和关于命题的信念偏好逻辑进行了比较，从技术上说明二者的推理在本质上是相同的。
基于本文的结果，有不少后续问题值得进一步研究，这里只提两个问题。第一，德漾文和本文的优先序列都是线性序，而优先序列完全可能是偏序，那么如何在偏序下定义偏好？如何在信念扩展语言中定义偏好？刻画它的逻辑又是什么？第二，在博弈中不同主体进行互动，偏好和信念是他们最主要的两种理智状态。我们知道，经典的博弈论通常采用效益函数来表示偏好，利用概率方法来表示信念。本文的方法和结果与此完全不同，那么如何将本文的结果应用博弈论中？这会给我们或博弈论者带来什么新的启迪？
参考文献
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4. Fehige, C. and Wessels, U., 1998: Preferences, Walter de Gruyter,
5. Girard, P.,2008: Modal Logics for Belief and Preference Change. PhD thesis,
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11. Lang, J., van der Torre, L., and Weydert, E., 2003: Hidden uncertainty in the logical representation of desires. In Proceedings of the 18th International Joint Conference on Artificial Intelligence (IJCAI’03).
12. Liu, F., 2008: Changing for the Better, Preference Dynamics and Agent Diversity, PhD thesis, ILLC,
13. Rott, H., 1993: Belief contraction in the context of the general theory of rational choice, Journal of Symbolic Logic,58:1426-1450.
14. Von Wright, G.H., 1963: The Logic of Preference.
（原载《哲学研究》2010年第3期）