在文[1]中，我们给出了二值n元Sheffer函数的研究结果。本文拟采用完全析取范式、完全合取范式来考察三值二元Sheffer函数的一些情况。
定义1
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p |
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2 |
1 |
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1 |
0 |
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0 |
2 |
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q |
p∨q |
p★q |
p☆q |
p∧q | ||||||||
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2 |
1 |
0 |
2 |
1 |
0 |
2 |
1 |
0 |
2 |
1 |
0 | |
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2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
2 |
1 |
0 |
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1 |
2 |
2 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
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0 |
2 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
定义2 由★或☆将命题变元p或其否定式
定义3 与公式A等值的符合下列条件的公式A
[1] A
A1∨A2∨…∨Ai∨…∨Ak
其中每个Ai (i=1，2，…，k)均为广义合取子式；
[2]公式A中的命题变元均在Ai (i=1，2，…，k)中出现；
[3]广义子式内按字母序排列，广义子式间按★、☆及p、
例如，由上述真值表容易看出公式p∧q的完全析取范式为：
(p★q)∨(p☆
∨(
任一三值逻辑公式都可以通过真值表方法给出其在所有可能赋值情况下的值，所以显然有：
定理1 任一三值逻辑公式都存在唯一的完全析取范式。
定理2 三值逻辑算子集{
定理3 三值逻辑算子集{
证明：
p★q ＝def
p☆q ＝def
定理4 三值逻辑算子集{
证明：
p★q ＝def
p☆q ＝def
∨
定义4 △、▲为三值逻辑二元算子，其真值表如下：
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q |
p△q |
p▲q | ||||
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2 |
1 |
0 |
2 |
1 |
0 | |
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2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
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1 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
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0 |
2 |
2 |
1 |
2 |
2 |
0 |
定义5 由△或▲将命题变元p或其否定式
定义6 与公式A等值的符合下列条件的公式A
[1] A
A1∧A2∧…∧Ai∧…∧Ak
其中每个Ai (i=1，2，…，k)均为广义析取子式；
[2]公式A中的命题变元均在Ai (i=1，2，…，k)中出现；
[3]广义子式内按字母序排列，广义子式间按▲、△及p、
例如，由上述真值表容易看出公式p∨q的完全合取范式为：
(p▲q)∧(p△
∧(
定理5 任一三值逻辑公式都存在唯一的完全合取范式。
定理6 三值逻辑算子集{
证明：
p∨q＝def (p▲q)∧(p△
∧(
根据定理4：三值逻辑算子集{
定理7 三值逻辑算子集{
证明：
p▲q ＝def
p△q ＝def
定义7 ＊为三值逻辑二元算子，并且令
p＊q ＝def
定理8 ＊是三值逻辑二元Sheffer函数。
证明：
p∨q＝def ((p＊p)＊(p＊p))＊((q＊q)＊(q＊q))
由定理4可知：＊是三值逻辑二元Sheffer函数。
定理9 由下列表达式确定的三值逻辑二元算子均为Sheffer函数：
S1pq＝def
S2pq＝def
S3pq＝def
S4pq＝def
S5pq＝def
S6pq＝def
S7pq＝def
S8pq＝def
S9pq＝def
S10pq＝def
S11pq＝def
证明：因为我们有：
p∧q＝def S1
由定理7可知，S1pq是Sheffer函数。
同样，由于有：
p∧q＝def
p∨q＝def
p∨q＝def
p∧q＝def
p∧q＝def S6
p∨q＝def S7
p∧q＝def
p∨q＝def
p∧q＝def
p∨q＝def
由定理4和定理7可得，S2～S11都是Sheffer函数。
【参考文献】
[1] 杜国平. 单独函数完全的算子[J]. 哲学研究2000年第6期. P52-55.
[2] 杜国平. 经典逻辑与非经典逻辑基础[M]. 教育部推荐“研究生教学用书”. P68-71.
[3] 周礼全. 逻辑百科辞典[M]. 四川教育出版社, 1994. P585.
[4] A,G.Hamilton. Logic for Mathematicians[M]. 清华大学出版社, 2003. P27-44.
[5] 朱梧槚 肖奚安. 数理逻辑引论[M]. 南京大学出版社, 1995. P63-78
（原载《哲学动态》2005年逻辑学专辑）