【张家龙】论沈有鼎悖论在数理逻辑史上的地位

沈有鼎先生是著名的逻辑学家,早年留学美国和英国，曾获哈佛大学硕士学位，是清华大学哲学系的创始人之一，历任清华大学教授、北京大学教授、中国社会科学院哲学研究所研究员、博士生导师。今年是沈有鼎先生诞辰100周年，谨以此文奉献于有鼎师的灵前，以表深切的崇敬和怀念之情。

沈有鼎先生在1953年6月的《符号逻辑杂志》第18卷第2期发表《所有有根类的类的悖论》（“Paradox of the class of all grounded classes”），在1955年6月的《符号逻辑杂志》第20卷第2期发表《两个语义悖论》（“Two semantical paradoxes”）。《符号逻辑杂志》和《斯坦福哲学百科全书》对这些悖论均有评论。有的国际逻辑文献（如杜米特留（Dumitriu）的《逻辑史》）把“所有有根类的类的悖论”称为“沈有鼎悖论（Shen Yuting paradox）”，中文文献称它为“沈氏悖论”（参见张清宇，第43页）。本文将“所有有根类的类的悖论”和“两个语义悖论”统称为“沈有鼎悖论”。

一

首先介绍“所有有根类的类的悖论”：

对于类A而言，有一个由类组成的无穷级数A1，A2，…（不一定都不相同）使得

…∈A2∈A1∈A，

则称A为无根的。并非无根的类，被称为有根的。令K是由所有有根类组成的类。

假定K是无根的。那么有一个由类组成的无穷级数A1，A2，…使得

…∈A2∈A1∈K。

由于A1∈K，A1就是一个有根类；由于

…∈A3∈A2∈A1，

A1又是一个无根类。但这是不可能的。

所以，K是有根类。因而K∈K，并且我们有

…∈K∈K∈K。

因此，K又是无根类。（《沈有鼎文集》，第213页）

沈有鼎接着提出了“所有非循环类的类的悖论”和“所有非n-循环类的类的悖论”(n是一个给定的正整数)，一个类A1是循环的仅当存在某个正整数n和类A2，A3，…，An使得A1∈An∈An-1∈…∈A1。对于任一个给定的正整数n而言，一个类A1是n-循环的，仅当有类A2，A3，…，An使得A1∈An∈…∈A2∈A1。沈有鼎说，通过类似的论证，就可以得到“所有非循环类的类的悖论”和“所有非n-循环类的类的悖论”。沈有鼎称这三个悖论是一个“三体联合”，而罗素悖论（所有不是自身分子的类的类的悖论）就是第三个悖论的特例（n=1）。由此可见，非循环类和非n-循环类本质上就是有根类，而循环类和n-循环类则是无根类。

沈有鼎所发现的这类“三体联合”的悖论在数理逻辑史上具有重要意义。

（一）有根类和无根类的区分在数理逻辑史上是第一次提出，发展了1917年法国数学家梅里玛诺夫(D.Mirimanoff)关于区分正常集(ordinary set)和异常集(extraordinary set)的思想。在一个集合A中，存在一个无穷的∈-降链，即存在…An∈An-1∈…∈A2∈A1，则称A为异常集；换一种等价的说法，当A∈A或A＝｛A｝，A就是异常集。并非异常集，就被称为正常集。正常集和异常集后来也分别被称为良基集（well-founded set）和非良基集。有的文献认为梅里玛诺夫提出了在策尔梅洛系统中允许存在异常集的悖论。这种说法并不准确，允许存在异常集本身并不是一个悖论命题。

这种异常集在公理集合论中必须加以排除。1925年，冯·诺意曼（von Neumann）提出了正则公理（对任一非空集合A，都存在一个元素与A没有公共元素；或者说任一非空集合A都有极小元）。由正则公理可以得出“在正则公理的前提下，不存在一个集合A使得A是异常集”、“对任一集合，都有AÏA成立”、“对任意的集合A1，A2，A3，不存在A1∈A3∈A2∈A1”和“对任一正整数n，对任意的集合A1，A2，…，An，不存在A1∈An∈An-1∈…∈A2∈A1”等定理，这不但排除了异常集，而且排除了循环集和n-循环集。

由此可见，异常集是无根的、循环的和n-循环的，正常集是有根的、非循环的和非n-循环的。沈有鼎提出的“无根类”、“循环类”和“n-循环类”等概念，不但扩展了“异常集”的概念，而且进一步深化了人们对正则公理的认识。

（二）由梅里玛诺夫对正常集和异常集的区分，可以得到“所有正常集的集的悖论”或“所有良基集的集的悖论”，但他并没有论证这个悖论；他的重要贡献是提出要在策尔梅洛集合论中排除异常集。沈有鼎的“三体联合”的悖论不但概括了罗素悖论，而且概括了所有正常集的集的悖论以及布拉里-福蒂(Burali- Forti)悖论。所有正常集的集的悖论也就是所有有根类的类的悖论。

布拉里-福蒂悖论可以表述为“所有序数的集合的悖论”。根据现代的序数定义，可知每一序数是一个集合，而且是有根的，因此布拉里-福蒂悖论就化归为“所有有根类的类的悖论”。

由上所说，沈有鼎的“三体联合”的悖论表明，“所有有根类的类”、“所有非循环类的类”、“所有非n-循环类的类”以及它们所概括的罗素悖论中的“所有不是自身元素的集合的集合”、“所有正常集的集合”和布拉里-福蒂悖论中的“所有序数的集合”等等，都不是集合，而是真类。这就使人们对分离公理的意义和作用加深了认识。分离公理是说，对于一个已经存在的集合A，可以将其中所有具有性质φ(x)的元素汇集在一起构成一个新的集合B。这表明并非任一性质都能决定一个集合，而是满足性质φ的元素必须同时是给定的集合A的元素。也就是说，一个性质只能决定从给定的集合中分离出一个子集；反过来说，并非任一集合的一部分都是一个集合，要从给定的集合分离出一个子集必须满足一个性质。根据分离公理，不存在一个集合，使得所有的集合都属于它；也就是说，“所有集合的集合”是不存在的。我们找不到某个集合，使得它能包含上述悖论中的所谓“集合”。

（三）沈有鼎悖论的提出促进了对悖论问题的研究。这里指出三点：

1.蒙太格（Richard Montague）受沈有鼎《所有有根类的类的悖论》的启发，在1955年6月的《符号逻辑杂志》上发表《论有根类的悖论》。他说：“有可能不使用复杂的集合论观念(如自然数或无穷序列等观念)来陈述这个悖论。”（Montague，p.140）一个类x被称为正则的（regular），当且仅当"k(x∈k→$y(y∈k∧$z(z∈k∧z∈y))）,Reg是所有正则类的类。蒙太格进行了论证，得出结论：Reg既不是正则的，也不是非正则的。

蒙太格说：“借助选择公理，显而易见正则类正是有鼎先生的有根类”（Montague，p.140），由此可见蒙太格对沈有鼎此文的重视；而且因此，蒙太格把他的论文标题定为“论有根类的悖论”。

2.沈有鼎的学生张清宇在1993年发表《所有非Z-类的类的悖论》（张清宇，第43－44页），对沈有鼎的“三体联合”的悖论作了推广。该文提出了一系列具有很强概括力的悖论（本文称它们为“张清宇悖论”）。以下简要介绍张清宇悖论的主要论证思路。

令Z是一个满足以下两个条件的性质：

（1）"x(x∈x→Z(x));（2）"x(Z(x)→$y∈x∧Z(y))。

具有Z性质的类被称为Z-类。Kz是由所有非Z-类组成的类，即Kz＝｛x|ØZ(x)｝。由（2）可得

"x("y∈x(ØZ(y)→ØZ(x))；因而有"y∈Kz(ØZ(y)→ØZ(Kz)）。

由此可得ØZ(Kz)，即Kz∈Kz。据（1）可得Z(Kz)。所以，所有非Z-类的类既具有性质Z又不具有性质Z。这就是“所有非Z-类的类的悖论”。

由这一悖论可以导出沈有鼎的“所有有根类的类的悖论”、“所有非循环类的类的悖论”和“所有非n-循环类的类的悖论”、罗素悖论和寇里（Curry）悖论。这里值得注意的是，张清宇悖论概括了寇里悖论。寇里悖论涉及的性质Z的定义是：Z(x)为$p（x∈x∧Øp)(p是命题变项)，由此可以得到Z既满足（1）又满足（2），这样，Kz＝｛x|"p（x∈x→p)｝，由此导出寇里悖论。我们可以把寇里悖论中具有Z性质的类看成是无根类或循环类。

实际上，张清宇悖论中的性质Z是上述悖论所涉及的性质的共同点，Z-类是无根类、循环类、n-循环类等概念的一个高度概括，非Z-类是有根类、非循环类、非n-循环类等概念的一个高度概括。由上可见，张清宇悖论的发现推进了对集合论悖论的研究，丰富了集合论悖论的形式，进一步加深了人们对公理集合论中的正则公理和分离公理的认识。

3.克里普克（Kripke）在1975年发表《真值理论纲要》，提出解决说谎者悖论的新方案。他的方案的关键概念是“有根性”（groundedness）。一个语句是有根的，当且仅当通过一定的程序把它的真值归结为一个基底语句的真值；否则就是无根的。说谎者语句“本语句是假的”是一个无根的语句，它既不真也不假，处于真值间隙之中。

克里普克的解悖方案十分类似于沈有鼎的“所有有根类的类的悖论”，是建立在“有根性”这个概念的基础之上的。克里普克认为他的“有根性”这个概念来源于赫兹博格（Herzberger），认为后者第一次提出了这个概念：“‘有根性’这个名称似乎是在赫兹博格的著作《语义学中的有根性悖论》中第一次明确引进的。”（Kripke，p.694）克里普克的说法似乎有误：赫兹博格的论文发表在1970年，而沈有鼎的《所有有根类的类的悖论》是在1953年发表的，比赫兹博格的论文早17年。

实际上，“有根性”概念不是赫兹博格第一次提出的；赫兹博格认为梅里玛诺夫第一次提出了这个概念（杨熙龄，第242页）。《斯坦福哲学百科全书》的“悖论与现代逻辑”词条的作者坎提尼（Andrea Cantini）也持这种观点，他认为梅里玛诺夫给出了布拉里-福蒂悖论的一个概括即“有根集的悖论”，并且用沈有鼎的有根类和无根类的论证方法论证了布拉里-福蒂悖论，坎提尼说同样的悖论以后也出现在1953年沈有鼎那里。这种观点值得商榷，因为梅里玛诺夫并没有提出“有根集”和“无根集”的概念，更没有提出“三体联合”的悖论。

1955年《符号逻辑杂志》第20卷第1期发表了该杂志的评论作者谬勒（Müller）对《所有有根类的类的悖论》的评论，谬勒说：“沈用类似于罗素的方法证明了所有有根类的类，所有非循环类的类，所有非n-循环类的类每一个都是矛盾的。”（Müller，1955，p.84）1955年该杂志第20卷第2期发表的蒙太格《论有根类的悖论》指出他的正则类“正是有鼎先生的有根类”。1956年该杂志第21卷第４期发表了谬勒对蒙太格《论有根类的悖论》的评论，他指出：“从选择公理可得：一个类是正则的当且仅当它在沈的意义上是有根的。”(ibid，1956，p.380)这些文献表明，第一次提出“有根性”概念的逻辑学家是沈有鼎。赫兹博格的“有根性”概念似应来源于沈有鼎。

本文在这里澄清这一段历史公案是想说明，“有根性”概念对于赫兹博格的语义悖论研究，特别是对于克里普克解决说谎者悖论的方案，具有极其重要的意义。

二

沈有鼎悖论中还有两个语义悖论，如下：

考虑这样一个命题：

（1）我正在讲的不可证明。

假定这个命题可以证明。那么它一定是真的，用它自己的话说，也就是它不可证明；这将跟我们的假定矛盾。

假定它可以证明将引出矛盾，因此这命题不可证明。换句话说，这命题是真的。这样，我们也就证明了这命题。

所以，这命题既可证明又不可证明。

…………

（1）的对偶命题如下：

（2）我正在讲的可以反驳。

假定这命题是真的，或者用它本身的话来讲，它可以反驳。那么它一定是假的，这就跟我们的假定矛盾。

假定它可以反驳将引出矛盾，因此这命题是假的。这样，我们也就反驳了这命题。弄清这命题可以反驳，也就是说它是真的。

所以，这命题既真又假。（《沈有鼎文集》，第218－219页）

这两个语义悖论实质上是说谎者悖论的变形，产生的关键是把真实性等同于可证性，把虚假性等同于可驳性，这样，可证性和可驳性就成了语义概念。因此，我们可以用解决说谎者悖论的方案加以解决。在形式算术系统中，情况大相径庭，真实性与可证性决不是等同的，真假的概念不能在系统中定义，而可证性恰恰可以在系统中表达。沈有鼎在谈到（1）的第二部分论证时指出：“如果我们是在一个给定的形式系统S中来谈（1）的证明，那么我们就不能说已经在S中证明了这一命题。因为，很有可能这一论证无法在S中形式化。正如我们大家都知道的那样，哥德尔在他1931年的著名论文中确实证明了，在适当的系统S中可以构造一个声称自身在S中不可证明的命题。我们不妨回顾一下哥德尔所作的结论，它是说如此构造的命题虽是真的但在S中不可证明。所以，只要限于考虑给定系统中的可证性，我们也就不会因此而产生矛盾。”（同上，第218页）

这是指哥德尔不完全性定理，该定理说：如果形式算术系统是一致的，那么它就是不完全的；这就是说，在系统中存在一个具有形式"xA(x)的命题B，使得B和ØB都不是系统的定理，这样的B被称为不可判定的命题（B是说，B在系统S中不是可证的）。（参见张家龙，第342-368页）

哥德尔的不可判定命题巧妙地改造了说谎者悖论的命题，但本身决不是悖论命题，决不会产生沈有鼎的语义悖论。沈有鼎语义悖论的悖论命题是：A＝A不可证；哥德尔不可判定命题是：A＝A在形式算术系统中不可证，这是两个截然不同的命题。沈有鼎悖论对我们深刻理解哥德尔不完全性定理有很重要的作用，这就是使我们对不可判定命题的构造更为清晰，使我们对哥德尔用“系统中的可证性”代替说谎者悖论中的真实性从而能避免悖论这种高超的逻辑技巧有更深刻的认识。

关于第二个语义悖论，沈有鼎说：“再一次利用哥德尔的作法，我们就可在一个适当的系统S中找出一个声称自身在S中可反驳的命题。所要作的结论就是，这命题虽是假的但在S中不可反驳（即，它的否定在S中不是可证明的）。”（《沈有鼎文集》，第219页）

沈有鼎所提出的想法并不是哥德尔不完全性定理所要解决的任务，但深化了我们对不完全性定理的理解，以及对哥德尔配数法和元数学算术化的认识。沈有鼎要构造的命题是：A＝A在S中可反驳，这是哥德尔的不可判定命题的一个对偶命题。笔者现在用哥德尔的方法来构造这个命题。

令元数学谓词“Y是公式ØA的一个证明”（即“Y是公式A的一个反驳”），相应的算术谓词是R（y,a），它是原始递归的，在系统中表达它的公式为R(u,v)。我们构造以下命题：

　　V(w)即("u)R(u,S(w,w)),

令这个公式的哥德尔数为p。在这个公式中，以p的数字去替代w的一切自由出现，得到以下公式：

　　V(Zp)即("u)R(u,S(Zp,Zp)),

根据代入函数Sb（a,b）的定义（在哥德尔数为a的公式[含有自由表元w]中，以b的数字Zb[b是直观的自然数，Zb是系统中相应的形式符号]替代自由变元w所得到的公式的哥德尔数）,这个公式的哥德尔数应为Sb（p,p）。由于S(Zp,Zp)数字表示了Sb（p,p）；R(u,v)数字表达了R（y,a），因此V(Zp)即(u)B(u,S(Zp,Zp))表达了直观的算术公式：

("x)R(x,Sb(p,p)),

它的意思是：所有自然数都是以Sb(p,p)为哥德尔数的公式的反驳的哥德尔数，即以Sb(p,p)为哥德尔数的公式是可反驳的，而V(Zp)的哥德尔数正是Sb(p,p)，因此，V(Zp)就是一个断定了自身可反驳的公式，即V(Zp)在系统中表达了“V(Zp)在系统中可反驳”这样一个元数学命题。在形式算术系统中可以证明：ØV(Zp)不可证，即V(Zp)在系统中不可反驳。这样，就存在一个直观上是假的但在系统中不可反驳的命题。由此可见，沈有鼎的悖论命题：A＝A可以反驳，与A＝A在形式算术系统中可以反驳，是完全不同的命题。在形式算术系统中不会出现沈有鼎的第二个语义悖论。

综上所说，沈有鼎悖论在数理逻辑发展史上具有十分重要的地位。这些悖论深刻地揭示了直观集合论的缺陷，推进了对集合论悖论和语义悖论的研究，深化了人们对公理集合论特别是正则公理和分离公理的认识，加强了人们对哥德尔不完全性定理特别是不可判定命题的理解，丰富了数理逻辑的内容。沈有鼎对数理逻辑的发展作出了不可磨灭的贡献。

 

【参考文献】

《沈有鼎文集》，1992年，人民出版社。

杨熙龄，1986年：《奇异的循环——逻辑悖论探析》，辽宁人民出版社。

张家龙，1993年：《数理逻辑发展史》，社会科学文献出版社。

张清宇，1993年：《所有非Z-类的类的悖论》，载《哲学研究》第10期。

Kripke, S., 1975, “Outline of a theory of truth”, in The Journal of Philosophy 72(19).

Montague， R., 1955, “On the paradox of grounded classes”， in The Journal of Symbolic Logic 20(2).

Müller， G.H.， 1955， “Yuting Shen.paradox of the class of all grounded classes”, in The Journal of Symbolic Logic 20(1).

1956， “Richard Montague.on the paradox of grounded classes”， in The Journal of Symbolic Logic 21(4).

 

（原载《哲学研究》，2008年第9期。录入编辑：神秘岛）