集合论的核心是一个关于条件的陈述, 它说明两点:第一, 哪些条件能够决定集合的存在;第二, 一个存在的集合的元素有哪些。朴素集合论 (na6ve set theory) 的核心是概括公理 (comprehension axiom或abstraction axiom) , 它断定:任意条件或性质都决定一个集合的存在;如果条件φ决定集合S存在, 那么S的元素是所有那些满足条件φ的对象。除了概括公理之外, 朴素集合论还包括外延公理和经典逻辑 (一阶逻辑) 。

朴素集合论包含悖论, 主要有:布拉里-福蒂悖论 (Burali-Forti's paradox) 、康托悖论 (Cantor's paradox) 、罗素悖论 (Russell's paradox) 。[1]除了这三个悖论之外, 还有沈有鼎先生的所有有根类的类的悖论[2]、张清宇的所有非Z类的类的悖论[3]、杜国平的等值悖论 (Curry悖论的一个变体) 等[4]。布拉里-福蒂悖论涉及序数的定义, 康托悖论涉及基数的定义, 其他悖论都可视为涉及循环或否定、抑或同时涉及两者。此外, 这些悖论都涉及奇异收集 (weird collection) , 例如, 所有序数的收集、所有满足某个循环条件的对象的收集等。在集合论悖论的研究中, 罗素悖论通常被用来考察某个具体的悖论处理方案, 这是因为:一方面, 它只涉及集合论的基本概念“集合”和“隶属”;另一方面, 它同时涉及循环、否定、奇异收集。本文将使用罗素悖论考察集合论悖论的处理方案, 同时还将使用等值悖论, 因为它与本文将要提出的新方法有关。

罗素悖论是一个广为大家熟知的悖论, 这里只对它作一个简略的说明。在朴素集合论中, 根据概括公理, 罗素集R={x|x∉x}存在。从罗素集出发, 根据排中律P∨┐P, 朴素集合论中存在矛盾Q∧┐Q。如果一个理论中存在矛盾, 那么这个理论是不一致的 (inconsistent) 。因此, 朴素集合论是不一致的。

关于等值悖论, 这里需要说明的是:在朴素集合论中, 从使用概括公理定义等值集D={x|x∈x↔p}出发, 再通过MP规则和收缩律 (contraction law, 其形式为 (A→ (A→B) ) → (A→B) ) , 可得任意命题p是朴素集合论的定理。在现代逻辑中, 任意理论都对应着它所使用的语言, 语言中的一部分公式作为该理论的定理, 这些定理在该理论的推导规则下封闭, 但是不允许语言的所有公式都是该理论的定理, 因为那样的理论是平凡的 (triviality) 、没有研究意义的。因此, 朴素集合论是一个平凡的理论。

集合的思想已经深入数学的各个分支, 朴素集合论是不一致的、平凡的, 它不能作为数学的基础。从为数学提供可靠基础的角度考虑, 本文考察的悖论处理方法是以既能避免悖论又能保留满足数学需要的集合为目标, 建立新的集合论。因此, 像罗素的类型论 (type theory) 这样的悖论解决方案就不在本文考察之列。

一处理集合论悖论的几种经典方法

从上述的罗素悖论和等值悖论的形成机制可以看出, 它们的产生都依赖概括公理, 因此, 限制概括公理就成为一种最直接的选择, 采用这种策略的方案有:策梅洛-弗兰克尔集合论 (Zermelo-Fraenkel axiomatic set theory, 简称ZF) 、冯·诺伊曼-贝奈斯-哥德尔集合论 (von Neumann-Bernays-G9del axiomatic class-set theory, 简称NBG) 、蒯因的NF系统 (Quine's new foundation system) 。

策梅洛-弗兰克尔集合论 (ZF) 将概括公理限制为分离公理 (separation axiom) , 分离公理要求新集合必须是某个已经存在的集合的子集。就已经存在的集合而言, 它们是从空集出发, 经过对、并、幂集、无穷、替换等运算得到的。罗素集R={x|x∉x}和等值集D={x|x∈x↔p}在ZF中是不存在的, 因为我们无法在ZF中找到一个集合, 使得R是它的子集, 根据ZF的正则公理 (又称基础公理) , 我们无法构造满足x∈x的集合。

冯·诺伊曼-贝奈斯-哥德尔集合论 (NBG) 舍弃了概括公理, 引入了一组关于类 (class) 的公理。NBG区分了集合和真类 (proper class) 。集合和真类都是类, 不同的是, 集合可以作为其他类的元素, 但真类不能作为其他类的元素。在NBG中, 罗素集R={x|x∉x}是一个真类, 而不是一个集合, 因为真类不能作为其他类的元素, 所以避免了悖论[5]。因为NBG舍弃了概括公理, 所以等值集D={x|x∈x↔p}在NBG中不存在。

蒯因的NF系统将概括公理限制为只能应用于分层公式 (stratified formulas) 。一个公式φ被称为分层的, 当且仅当, 我们能够对φ中出现的每个项指派一个自然数, 使得φ在类型论的意义上是可定义的。关于类型论的介绍请参见巴克尔的论文《悖论, 类型论以及解救悖论的其它方法 (续) 》[6]。简单地说, 这种分层结构阻断了循环, 使得┐ (x∈x) 和x∈x这样的公式都不能决定集合的存在。因此, 罗素集R={x|x∉x}和等值集D={x|x∈x↔p}在NF中是不存在的。

以上这三种集合论悖论处理方法都是基于经典逻辑的方法。此外, 也存在基于非经典逻辑的集合论悖论处理方法, 例如基于直觉主义逻辑 (intuitionism logic) 的直觉主义集合论。直觉主义者对待数学的态度是构造主义的, 这使得他们反对循环、反对排中律[7]。因为反对循环, 所以等值集D={x|x∈x↔p}在直觉主义集合论中不存在;因为反对排中律, 所以从罗素集R={x|x∉x}出发不能推导出矛盾。

但是, 上面这些处理方法都是不完美的。ZF和NBG关于集合的论述是一样的, 它们不能满足数学中范畴论的需要, 这主要表现为两个问题:第一, 它们不能处理所有群的范畴、所有集合的范畴、所有范畴的范畴;第二, 范畴论者希望能对这些范畴进行运算, 但这样的构造在ZF和NBG中是不可能的[8]。1942年, 罗塞尔 (Rosser) 在NF的一个自然扩张系统ML中发现了一个布拉里-福蒂悖论的类似物[9]。在直觉主义的方案中, 不借助排中律, 而借助不矛盾律 (the law of non-contradiction) 仍然可以构造悖论[10]。

本文将要介绍一种处理集合论悖论的新方法———弗协调集合论 (paraconsistent set theory) 。这也是一种基于非经典逻辑的集合论悖论处理方法, 它依赖弗协调逻辑 (paraconsistent logic) 。

二从弗协调逻辑到弗协调集合论

何谓弗协调逻辑?我们要了解弗协调逻辑, 先要了解逻辑后承关系和爆炸原理。如果对任意A和B有{A, ┐A}B, 那么逻辑后承关系是爆炸的 (explosive) 。需要说明的是, 在这里不仅表示语义后承, 也表示语法后承。显然, 经典逻辑中的后承关系是爆炸的。一个逻辑被称为弗协调的, 当且仅当, 它的逻辑后承关系不是爆炸的。因此弗协调逻辑不是某一个具体的逻辑, 而是具有弗协调性 (paraconsistent property) 的所有逻辑的统称。

在逻辑中, 存在多种方法能够使得逻辑后承关系不是爆炸的。根据实现弗协调性的不同方法, 普里斯特 (G.Priest) 将弗协调逻辑分为七种, 分别是:论谈逻辑 (discussive logic) 、非加系统 (nonadjunctive systems) 、保守主义 (preservationism) 、自适应逻辑 (adaptive logics) 、形式不一致逻辑 (logics of formal inconsistency) 、多值逻辑 (many-valued logics) 、相干逻辑 (relevant logics) 。[11]到目前为止, 被用于构造弗协调集合论的只有形式不一致逻辑 (简称LFIs) 、多值逻辑和相干逻辑。下面分别介绍这三类逻辑的特征。

1. 三类逻辑的特征

形式不一致逻辑 (LFIs) 的主要思想是保留经典逻辑的一致部分, 只反对爆炸原理 (即, 经典逻辑中描述“对任意A和B有”的定理) 。为了实现这一目标, LFIs将“一致性”和“不一致性”这样的元理论概念编码到对象语言中, 即, 在对象语言中加入表示“一致性”的算子。因此, 在LFIs中, 当有“一致性”算子在场时, 它的推理和经典逻辑的推理是一样的;而当“一致性”算子不在场时, 它的推理不承认爆炸原理。

多值逻辑放弃了经典逻辑的二值原则, 允许命题有除真 (ture) 和假 (false) 之外的真值 (truth values) 。最简单的便是三值逻辑, 假定b是除真和假之外的第三个真值, 如果A为真, “非A”为假, 那么“A且非A”的值为b。在多值逻辑关于条件句的设定中, 值为b的命题不能蕴涵任意命题, 这样就使爆炸原理失去了有效性。

相干逻辑与经典逻辑的不同之处在于对条件句的定义。经典逻辑使用的是实质蕴涵, 而相干逻辑使用的是相干蕴涵。在实质蕴涵中, 爆炸原理有效;而在相干蕴涵中, 要求结论必须和前提相干, 甚至在最初的设定中, 如果A相干蕴涵B, 那么A和B至少共享一个命题变元。相干蕴涵的这种设定使得爆炸原理失去了有效性, 因此, 这种相干逻辑是弗协调逻辑。但是, 并非所有的相干逻辑都是弗协调逻辑。

2. 弗协调逻辑的强弱

从弗协调逻辑与经典逻辑的关系考察, 弗协调逻辑分为强弱两种:强的弗协调逻辑不包含经典逻辑的一致部分, 弱的弗协调逻辑包含经典逻辑的一致部分。[12]这两种弗协调逻辑构造弗协调集合论的道路是不同的, 一般来说, 基于强的弗协调逻辑可构造弗协调朴素集合论;而基于弱的弗协调逻辑除了可以构造弗协调朴素集合论外, 还可以构造弗协调的ZF、弗协调的NBG等。造成这种差别的原因与弗协调论者对弗协调集合论的期望有关。

根据普里斯特的研究, 一个可接受的弗协调集合论需要满足两点:一是它不能是平凡的;二是它关于集合的陈述要比ZF多。[13]我们谈论的集合论是公理化集合论, 公理化集合论的结构可分为两部分:基础逻辑和集合论公理。在集合论公理不变的情况下, 如果逻辑A包含逻辑B, 那么基于逻辑A构造的集合论强于基于逻辑B构造的集合论, 这里“强”的意思是指关于集合陈述的内容多。因为弱的弗协调逻辑包含经典逻辑的一致部分, 所以仅通过替换朴素集合论、ZF、NBG、NF的基础逻辑 (经典逻辑) , 就可以构造比朴素集合论、ZF、NBG、NF强的集合论。相比之下, 强弗协调逻辑不包含经典逻辑的一致部分, 若想要实现构造强集合论的目标, 只能使用强的集合论公理, 即概括公理和外延公理。让我们进一步分类简述弗协调集合论的发展。

LFIs是弱弗协调逻辑, 它的典型系统是科斯塔的 (N.da Costa) 的Cn (1≤n<ω) 系统 (不包括Cω) 。从1964年到1975年, 科斯塔和奥鲁达 (A.Arruda) 构造了基于Cn (1≤n<ω) 系统的弗协调NF集合论NFn, 并发表了许多研究结果。随后, 奥鲁达证明:如果不限制概括公理, 那么NFn是平凡的[14]。1986年, 科斯塔构造了基于Cn (1≤n<ω) 系统的弗协调ZF集合论ZFn, 这个集合论是从丘奇 (Church) 的CHU集合论得到的, 其过程是将底层的一阶逻辑改为C=n (科斯塔构造的弗协调一阶逻辑C*=加上等词) , 并添加两条描述否定的公理, 一条描述强否定 (经典否定) , 另一条描述弱否定 (弗协调否定) [15]。关于科斯塔的弗协调逻辑和两种否定可参见其论文《关于弗协调集合论》[16]。在文中, 科斯塔证明了CHU是一致的, 当且仅当, 每个ZFn是非平凡的 (non-triviality) 。ZFn的一个特征是全域集和罗素集存在。1997年, 卡埃罗 (R.da C.Caiero) 和苏萨 (E.G.de Souza) 基于NF的扩张ML系统和弗协调逻辑C=1构造了一个弗协调集合论。该弗协调集合论被称为ML1[17]。需要说明的是, Cn、C=n、C=1都属于科斯塔的弗协调逻辑C系统。除了科斯塔的系统之外, 还有一个弱弗协调逻辑mbc, 它也是LFIs中的一个。[18]2013年, 卡尔涅利 (W.Carnielli) 和科尼利奥 (M.E.Coniglio) 基于mbc和ZF构造了弗协调集合论ZFCil[19]。

相干逻辑的典型系统是卢特雷 (R.Routley, 1983年更名为R.Sylvan) 和迈耶尔 (R.K.Meyer) 的DM系统和DL系统, 它们是强弗协调逻辑[20]。1977年, 卢特雷使用相干逻辑构造了一个弗协调集合论, 在其中, 概括公理成立[21]。1989年, 布雷迪 (R.Brady) 证明了卢特雷的弗协调朴素集合论有一个非平凡的模型, 因此, 卢特雷的弗协调集合论是非平凡的。2010年, 韦伯 (Z.Weber) 借鉴卢特雷的思想建立了弗协调逻辑TLQ, 这也是一个强弗协调逻辑, 并使用TLQ、概括公理和外延公理构造了一个弗协调朴素集合论, 并在该集合论中证明了序数理论和皮亚诺算术[22]。2012年, 韦伯基于弗协调逻辑TKQ、概括公理和外延公理构造了一个弗协调朴素集合论, 其中TKQ和TLQ相似, 属于卢特雷-迈耶尔型的弗协调逻辑, 同样地, TKQ是一个强弗协调逻辑。在这个集合论中, 韦伯发展了一个基数理论[23]。

多值逻辑的典型系统是普里斯特于1979年构造的LP系统, LP也是一个强弗协调逻辑[24]。1992年, 雷斯塔尔 (G.Restall) 基于LP构造了一个弗协调朴素集合论[25]。

至此, 我们分类概述了弗协调集合论的发展现状, 进而, 我们考察弗协调集合论处理集合论悖论的情况。

三弗协调集合论对集合论悖论的处理

弗协调集合论作为一种处理集合论悖论的新方法, 它的最显著特征是对待矛盾的态度与之前的方法不同。不管是限制概括公理的ZF、NBG、NF, 还是舍弃排中律的直觉主义集合论, 它们处理集合论悖论的目标都是消除矛盾, 保证集合论系统的一致性。但是, 在弗协调论者看来, 让朴素集合论失去研究意义的真正原因不是它的不一致性, 而是它的平凡性。因此, 弗协调集合论处理集合论悖论的目标是容忍矛盾, 接受集合论系统的不一致性, 保证集合论系统的非平凡性。

在假定爆炸原理有效的情况下 (即, 对任意A和B有) , 不一致性和平凡性等价。因为爆炸原理是经典逻辑的一条定理, 所以, 在基于经典逻辑的朴素集合论中, 矛盾的出现就意味着朴素集合论是平凡的。在爆炸原理失效的情况下 (即, 存在A和B使得) , 不一致性并不必然导致平凡性。弗协调逻辑是一种不承认爆炸原理有效性的逻辑, 因此, 在基于弗协调逻辑的弗协调集合论中, 矛盾的出现不等于弗协调集合论是平凡的。可以说, 弗协调集合论是一种不一致但非平凡的理论。

由此可见, 在弗协调论者看来, 非平凡性是评判一个弗协调集合论能否成功地处理集合论悖论的标准, 即, 如果一个弗协调集合论是非平凡的, 那么它就成功地处理了集合论悖论。在此标准下, 如前所述的弗协调集合论表现如何呢?

关于罗素悖论的处理。罗素悖论只是导致了朴素集合论的不一致, 在爆炸原理的作用下, 朴素集合论的不一致导致了它的平凡性。因为所有弗协调逻辑都不承认爆炸原理的有效性, 所以在所有弗协调集合论中, 不一致并不导致平凡性。因此可以说, 以非平凡性为标准, 所有弗协调集合论都成功地处理了罗素悖论。

因为等值悖论是柯里 (Curry) 悖论的一个变体, 所以, 本文所述的弗协调集合论对等值悖论的处理来自于弗协调集合论对柯里悖论的处理。关于等值悖论的处理如下:

从概括公理出发, 定义等值集D={x|x∈x↔p}, 再使用MP规则和收缩律, 就可以推导出平凡性。这对基于弱弗协调逻辑构造的弗协调朴素集合论是个打击, 因为弱弗协调逻辑保留了经典逻辑的一致部分, 即保留了MP规则和收缩律, 同时基于该逻辑的弗协调朴素集合论又保留了概括原理, 所以, 这样的弗协调朴素集合论必然是平凡的。这也是科斯塔和奥鲁达的弗协调集合论NFn平凡的原因。此后, 基于弱弗协调逻辑 (Cn和mbc) 的弗协调集合论的研究转向构造弗协调ZF和ML, 因为ZF和ML对概括公理进行了限制, 等值集D={x|x∈x↔p}在这些集合论中不存在, 所以使用它们构造的弗协调集合论可以不受等值悖论的影响。

作为弗协调逻辑的多值逻辑LP系统不承认MP的有效性, 这使得基于LP构造的弗协调朴素集合论不受等值悖论的困扰。

作为弗协调逻辑的相干逻辑不承认收缩律的有效性, 这使得基于相干逻辑的弗协调朴素集合论避免了等值悖论导致的平凡性。

通过以上分析可知:以保证集合论的非平凡性作为成功处理集合论悖论的标准, 所有弗协调集合论都能成功地处理罗素悖论;受等值悖论的影响, 我们无法构造基于弱弗协调逻辑的弗协调朴素集合论, 但可以构造基于强弗协调逻辑的弗协调朴素集合论、基于弱弗协调逻辑的弗协调ZF和NBG等。可见弗协调集合论在处理集合论悖论方面是成功的。

结语

弗协调集合论作为一种处理集合论悖论的新方法, 它的新颖之处在于它对待矛盾的态度和它的成功处理集合论悖论的标准。它对待矛盾的态度是容忍而不是消除, 它成功处理集合论悖论的标准是保证集合论自身的非平凡性。虽然弗协调集合论成功地处理了集合论悖论, 但在这一方面还有大量的工作要做。比如, 弗协调集合论与ZF的比较、弗协调集合论的模型的构造、弗协调集合论中序数和基数的定义等。

【注释】

[1][5]E.Mendelson, Introduction to Mathematical Logic, CRC Press, 2009, pp.xv~xvi, p.242.

[2]Shen Yuting, “Paradox of the Class of All Grounded Classes”, The Journal of Symbolic Logic, 18 (2) , 1953, p.114;密利马诺夫 (Mirimanoff) 于1917年构造过一个类似的悖论, 详情参见斯坦福哲学百科词条“Paradoxes and Contemporary Logic”。

[3]张清宇:《所有非Z类的类的悖论》, 《哲学研究》1993年第10期。

[4]杜国平:《罗素悖论研究进展》, 《湖北大学学报 (哲学社会科学版) 》2012年第5期。

[6][7]斯蒂芬·巴克尔:《悖论, 类型论以及解救悖论的其它方法 (续) 》, 王学海、桂起权译, 《逻辑与语言学习》1987年第6期。

[8][13]G.Priest, In Contradiction, Oxford University Press, 2006, pp.33~34, p.248.

[9]A.Cantini, R.Bruni, “Paradoxes and Contemporary Logic”, The Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2017.

[10]A.D.Irvine, H.Deutsch, “Russell's Paradox”, The Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2016.

[11]G.Priest, K.Tanaka, Z.Weber, “Paraconsistent Logic”, The Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2017.

[12][20]张清宇:《弗协调逻辑》, 《哲学动态》1987年第2期。

[14]A.I.Arruda, “Remarks on Da Costa's Paraconsistent Set Theories”, Revista Colombiana de Matemáticas, 19 (1) , 1985, pp.9~24.

[15][16]N.C.A.da Costa, “On Paraconsistent Set Theory”, Logique Et Analyse, 29 (115) , 1986, pp.361~371.

[17]张清宇:《弗协调逻辑》, 中国社会出版社, 2003, 第23页。

[18]R.da C.Caiero, E.G.de Souza, “A New Paraconsistent Set Theory”, Logique Et Analyse, 40 (157) , 1997, pp.115~141.

[19]W.Carnielli, M.E.Coniglio, J.Marcos, “Logics of Formal Inconsistency”, Hankbook of Philosophical Logic, Vol.14, Springer, 2007, pp.1~94;W.Carnielli, M.E.Coniglio, “Paraconsistent Set Theory By Predicating on Consistency”, Journal of Logic and Computation, 26 (1) , 2013, pp.1~20, p.3.

[20]R.Routley, R.K.Meyer, “Dialectical Logic, Classical Logic, and the Consistency of the World”, Studies in Soviet Thought, 16 (1) , 1976, pp.1~25.

[21]R.Routley, Exploring Meinong's Jungle and Beyond, Philosophy Department, 1980, pp.893~962.

[22]Z.Weber, “Transfinite Numbers in Paraconsistent Set Theory”, Review of Symbolic Logic, 3 (1) , 2010, pp.71~92.

[23]Z.Weber, “Transfinite Cardinals in Paraconsistent Set Theory”, Review of Symbolic Logic, 5 (2) , 2012, pp.269~293.

[24]G.Priest, “The Logic of Paradox”, Journal of Philosophical Logic, 8 (1) , 1979, pp.219~241.

[25]G.Restall, “A Note on Naive Set Theory in Lp”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 33 (3) , 1992, pp.422~432.

（原载《哲学动态》2017年第11期）