次协调逻辑（paraconsistent logic）是非经典逻辑中最引人瞩目的新分支之一。它是我们这个时代最有革命性的进步之一。正如.冯·赖特所说，这种逻辑是20世纪下半叶逻辑学上最有意义的发展之一。该逻辑的创始者达科斯塔（da Costa）则认为，我们这个文化彻底变革的时代，在构造非经典逻辑方面，次协调逻辑可说是最有革命性的进步之一[1]。

11.1 次协调逻辑的起源

    传统逻辑和由布尔与弗雷格所创的正统数理逻辑都是强调协调性的逻辑，不允许有一点自相矛盾。亚里士多德之后的二千年来，“禁止矛盾”一直是人们心目中至高无上的原则（即矛盾律）。主张思想革新的“次协调逻辑”却宽容得多，认为矛盾律的限制应当放宽些，因为在现实的推理中完全排除矛盾往往是不切实际的幻想。当然完全不要协调性，也就不成其为逻辑。因此，真理不在任何一个极端上，而在两者之间。于是乎“在矛盾中求协调”自然是最佳的选择了。这种协调性与非协调性中间产物叫做“次协调”性，次协调逻辑就是建立在“次协调”性的基础上。

    次协调逻辑最早是从“谈判中的逻辑”产生出来的。几个人一起参加一个会谈，讨论一些问题，大家的意见分歧会很大，即使对于同一个名词、概念，个人出自不同的立场也可以作出极不相同的解释。要把会谈统一成一个一致的意见是极为困难的，完全的协调性是做不到的。然而，老练的外交家们却善于“求同存异”，善于“在共同点上统一矛盾”（周恩来语），在会谈中达到相对的谅解，或者说求得某种“弱的协调性”。这就是我们所说的次协调性。[2]

次协调逻辑是“在矛盾中求协调”的逻辑，是刻画句法上“有意义的矛盾”[3]的形式系统。哪里需要在矛盾中求协调，哪里就要用到这种逻辑思想。“次协调”这个词是秘鲁哲学家奎萨达（Quesada）在1976年的国际逻辑学会议上首次提出的，它表示在新逻辑中当矛盾律的有效性削弱以后，仍能保持一种稍逊的协调性。由于这一术语更恰当地表达了达科斯塔所创立的“非协调形式系统”（1963）的本质特征，所以很快得到公认。

11.2 次协调逻辑的现实原型

我们已经指出，逻辑来源于科学与社会生活，来源于日常语言，次协调逻辑也是这样。建构形式系统的目的，正在于将科学活动和社会生活中行之有效的实际推理（逻辑上不纯的推理）加以纯化、提炼和重构，概括出最本质的方面。

经典逻辑是与非经典逻辑相对而言的。相对于多值逻辑而言，经典逻辑是“二值逻辑”，因为它只是真、假两个真值，没有三个或三个以上的真值，并且它遵守排中律。同样，相对于模糊逻辑而言，经典逻辑是“明晰逻辑”，因为它立足于普通集合论，隶属性质是“非此即彼”的，要么“属于”，要么“不属于”，而不是面对模糊对象按隶属程度进行分级刻画。现在，相对于次协调逻辑而言，经典逻辑则是“协调逻辑”。因为经典逻辑历来只讲协调性，不允许不协调性。换句话说，它把“不矛盾原则”（即矛盾律）看做自己的命根子。问题在于，在社会生活和科学推理中，事实上大量存在着形形色色的“有意义的矛盾”或不协调性，这是不容忽视的。正像经典逻辑作为“清晰逻辑”不能对付模糊性语句一样，经典逻辑作为“协调逻辑”不能恰当地处理有意义的不协调语句。面对模糊性事物的现实，经典逻辑采取削足适履的办法，把包括模糊性的语句或公式当作不合格的语句或公式简单地排斥、整修掉了。同样，面对现实矛盾或事实上的不协调性，经典逻辑采取削足适履额的办法，把包含有意义的矛盾或不协调性的语句或公式当做不合格语句或公式简单地排除、整修掉了。然而，模糊逻辑和次协调逻辑却采取客观主义的态度，承认“模糊性”和“有意义矛盾”的存在，反过来认为应当修改和调整的恰恰是原有的有缺陷的逻辑工具，即经典逻辑本身。

总之，构造次协调逻辑的哲学动机，正是要处理使经典逻辑感到束手无策的种种有意义的矛盾。[4]以下几种最有代表性的有意义的矛盾或不协调性，构成了次协调逻辑的思想来源和现实原型。它们是：

（1）辩证法。辩证法理论，例如黑格尔哲学和马克思的经济理论，至少按照某些解释，可以看作次协调逻辑的合适的应对对象。事实上，从历史上看，雅斯科夫斯基在构造第一个次协调命题演算时，确实以辩证法理论（包含辩证矛盾）作为原型之一。[5]意大利的马可尼在博士论文《矛盾与黑格尔辩证法的语言：逻辑学研究》（1979）中，对黑格尔的辨证理论进行了逻辑研究。他阐明了黑格尔的逻辑是一种非协调理论，并试图指出黑格尔的行文如何导致形式矛盾。卢特莱和普利斯特在《论超协调性》（1984）的论著中也叙述了这个问题。阿波斯蒂尔在其论著《辩证逻辑》（1978）中阐明了马克思的经济理论也会导致有意义的形式矛盾。具有明确的辩证法精神的次协调系统，是达科斯塔和沃尔夫在《次协调逻辑研究之一：对立统一的辩证原理》（1980）等论文中所提出的。在他们的系统中，对立统一原理（如被解释为：在任何一个具体的连续体中都存在某物既是A又是非A的中间地带）可以被形式化。

（2）梅农的本体论。奥地利哲学家梅农（1853—1920）首先提出一种“对象理论”，所讨论的是诸如金山、圆的方、怪物之类的虚构或假想存在物。他认为这些名称并非没有指称，而只是指称“非实在对象”。关于假想存在物的句子称“负存在句”。这个理论要求承认抽象实体即“非实在的实在域”的存在。这里包含明显的不协调性，但讨论本身却是有意义的。虚概念问题就是由此引申出来的。在分析哲学家中，早期罗素和摩尔都赞同过这种观点。罗素在1903年出版的《数学的原则》一书中曾指出过：

存在是属于每个可以设想的事物的性质，是属于每个可能的思想对象的性质……A是某个东西，因此存在。“A不存在”这个陈述必然始终要么是假的，要么是没有意义的。因为如果A是无，就不能说它存在：“而A不存在”，则暗示着存在一个其存在的属性被否定了的东西，因而也就暗示了A的存在。……数、荷马史诗中的神、怪物和四维空间都有其存在……

摩尔则在《哲学的一些主要问题（1910—1911年的讲演集）》中也说过：

想象一个半人半马肯定与想象虚无不是一回事。还有，想象一个半人半马明显与想像一个鹰头狮身带翅膀的怪物也不是一回事。而且如果这两者都是虚无——都是纯粹的非存在物，那么在想象这一个与想象那一个之间看来是毫无区别了。由此看来，一个半人半马就不是虚无：它是我确实在想象的某种东西。而如果它是某种东西，，那么这与我们说存在着这个东西，或说它有存在这种属性，难道有什么区别吗？[6]

以上的引文表明，早期罗素和摩尔都接受过梅农的本体论观点，认为有必要承认“虚构的存在物也是存在的”。但罗素很快放弃了这种观点。罗素提出摹状词理论的原始动机之一，正是要摆脱梅农的本体论观点所引起的危机：一是“承认不存在物的存在物”，会使矛盾律受怀疑；二是会使“存在世界”实体过剩。罗素通过区分专名（对应真实的存在）与摹状词（不对应真实的存在），解除了不必要的本体论承诺（不去承认虚构物的真实存在），坚持了著名的奥卡姆剃刀原则（使所允许的实体数目减少到最小数目），摆脱了背离矛盾律的困惑。罗素的摹状词理论当然也不失为对“负存在句矛盾”（梅农本体论）的一种解决方案。不过澳大利亚的次协调逻辑学者卢特莱（R.Routley）认为，如果采用次协调逻辑作为基础逻辑，则这个问题就有可能做出更方便更自然的解释。道理很简单，梅农所讨论的虚构的或假想的存在物，即“不存在的存在物”，当然内含某种矛盾，但是这种矛盾并非无意义的自相矛盾，不是简单的思想混乱，而是值得认真对待的。另一方面，次协调逻辑恰恰为一切含有“有意义矛盾”的理论提供了有力的逻辑基础。

（3）含糊性（ambiguity）。含糊性是次协调逻辑重要的现实原型之一，它本身具有明显的“亦此亦彼”的意味。如果我们对一个对象a使用含糊谓词P，那么Pa与非Pa都能成立。很显然，由于含糊性的存在，A与非A之间的界限不再是泾渭分明的了。换句话说，否定词﹁（非）被弱化了，而矛盾律﹁（A&﹁A）对此也不再有效，这些正好都是次协调逻辑的基本要求。从次协调逻辑角度看，一个使用含糊谓词的理论必定是非协调的，包含矛盾的，但完全可以是有意义有价值的。在这种意义上说，模糊逻辑与次协调逻辑可以互相解释。含糊性是客观存在的，客观事物本来就没有绝对的分明和固定不变的界限，这种情况在生物自然界尤其明显。恩格斯早就注意到，由于无脊椎、无骨骼但有脊索的文昌鱼存在，使脊椎动物与无脊椎动物的严格界限被打破；既有腮又有肺的总鳍鱼的出现，使鱼类与两栖类之间的界限变得模糊不清；很像鸟类的爬虫类细颚龙和具有爬虫类特征的始祖鸟的繁衍，又使爬虫类与鸟类之间的界限日益消失。更令人惊奇的是，乳房向来被认为是哺乳动物的特征性标记，可是鸭嘴兽这种哺乳动物却没有乳房！由于鸭嘴兽既具有卵生、单孔这些鸟类和爬行动物的特征，又具有哺乳动物的特征（有乳腺，但在腹部）。动物学家曾为此争论不休，直到1800年才算有定论。原来，这种动物属于有乳腺的卵生哺乳类。恩格斯面对所有这些模糊性现象从辩证法的高度作了总结。

恩格斯说：“一切差异都在中间阶段融合，一切对立都经过中间环节而互相过渡，”“辩证法不知道什么绝对分明的和固定不变的界限，不知道什么无条件的普遍有效的‘非此即彼！’，它使固定的形而上学的差异互相过渡，除了‘非此即彼！’，又在适当的地方承认‘非此即彼！’，并且使对立互为中介；……”[7] 。

与客观事物固有的含糊性相适应，人们确实在日常工作和科学研究中大量使用着含义不准确的模糊概念。次协调逻辑创始人达科斯塔在设计新型的次协调否定词时（关于A与非A之间并非“非此即彼”，而是有模糊边界，允许部分重叠），就以关于“年龄”和“颜色”的模糊概念作为原型。大家都知道，从道理上讲，就个人发展史而论，有婴儿、幼年、少年、青年、中年、壮年、老年之分，但这些概念实际用起来还是因人因地而异的。“中年知识分子”概念中的“中年”究竟代表怎样的年龄范围，是很难确切地说清楚的。“少年”同样是个模糊概念，12岁的孩子在中国只能算是小男孩或小女孩，可是在印度11岁就当妈妈也并不算太大的稀奇事。在关于“颜色”的模糊概念系统中，基本概念只有红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七色，而在各民族之间还有很大差异。例如，新几内亚高地的Jalé语中只有白、黑两种颜色词；菲律宾的Hanunòo语中只有白、黑、红、绿四种词；英语中有11种颜色词（七色加白、黑、棕、粉红、灰；扣除“青”色）；俄语中没有相当于“蓝”的颜色词，而“深蓝”与“浅蓝”却当作截然不同的颜色词。[8]实际上，在光谱实验中，人们所面对的是无限多种互相相邻接的颜色，数也数不清！即使最丰富的语言也没有足够多的颜色词。这样想起来，汉语、英语中的颜色词也仍然是模糊概念。例如，对于能够分辨十几种不同的“蓝色”的极有经验的印染工人来说，关于蓝的颜色词就实在太不够用了。当然，对于原始语言来说，颜色词的模糊性更大些罢了。问题还有更重要的方面。在光谱的连续区中，红与橙、橙与黄、黄与绿、蓝与青之间很难有截然分明的界限。难怪在日常生活中我们经常会碰到一种现象，比如对于同一种颜色，有人说“橘黄色”，另外有人却说“橘红色”。由此可见，科学和日常推理中所使用的模糊概念，包含着冲击经典否定词、经典矛盾律的潜在力量。它们是产生“模糊逻辑”和次协调逻辑的一种现实来源。

20世纪的学者开始把模糊性纳入认知科学和哲学的考察范围。罗素的论文《含糊性》（1923），布兰克的《论含糊性》（1937），都对含糊性概念作了专门的探讨。布兰克所提出的“轮廓一致”概念是某种带不一致性的一致，并包含着使隶属程度模糊化和等级化的萌芽。法国学者蒙日首创了“模糊集合”的概念。这些先驱者的工作，都为札德创立模糊集合论以及模糊学准备了条件。

札德对科学方法理论的重要贡献在于，他把模糊性方法认真地引到科学中去，正像统计力学创始人吉布斯曾把关于偶然性的（概率统计）方法认真引入到科学中去一样。札德发现，复杂系统的精密性与描述的有意义性两者相互排斥，称作“互克性原理”。这表明无节制地盲目地追求精确性并不总是好事，该精确时就精确，不该精确时就得模糊。模糊性作为科学方法，应该有自己的特殊地位。札德《模糊集合论》（1977）中就提出要“把模糊性作为现实世界的一个基本的、不同的侧面来处理的理论框架”。[9]

上面我们已经指出，以矛盾问题的研究和“亦此亦彼”模式为中介，次协调逻辑和模糊逻辑在一定意义上可以相互解释。实际上，次协调逻辑研究者阿璐达和奥维斯在《关于模糊逻辑的几点看法》（,1979）和《模糊逻辑的语义学研究》（1979）等论文中，确实按上述观点来研究模糊性概念。他们还分析了含糊性的三种情况：1）一个公式与它的否定可以同真并且同假；2）对于每一个公式，这个公式与它的否定可以同真但不能同假；3）一个公式与它的否定可以同假但不能同真。他们分别建立了与每一种情况相对应的命题逻辑系统。不难看出，对于含糊性的以上三种情况而言，矛盾律不再普遍有效。这正是次协调逻辑所关心的情况。

（4）维特根斯坦关于矛盾演算的理想，被认为是次协调逻辑的思想渊源之一。在当代分析哲学家中，维特根斯坦对“辩证阐述”方式的同情态度是很突出的。他认为数学哲学中的悖论并没有形式主义者所设想的那种破坏性。维特根斯坦指出：“为什么把矛盾看成一种鬼怪？这完全是一种迷信。”“‘矛盾将使演算彻底破产’——是谁赋予它这一特殊地位？我相信，只要稍具想象力，就完全可以推翻这一说法。”即使在目前阶段，我也要预言，总有一天会出现包含有矛盾的数学演算研究。那时，人们将会真正感到自豪，因为它们把自己从协调性的束缚下解放出来了。”有人把“不协调形式系统”看做维特根斯坦这一理想在逻辑上的实现。

（5）悖论问题。悖论在许多学科领域的基础部分反复出现，其中有些是奇特的“有意义矛盾”，因此也是次协调逻辑的重要原型之一。           

11.3悖论、二律背反与次协调逻辑   

    近年来，我国学术界讨论悖论的文章甚多，特别是自从杨熙龄的《奇异的循环》（1987）和张建军[10]的《科学的难题——悖论》（1990）这两本著作出版以后，不同层次的读者对悖论都有所了解。作为罗素悖论的通俗解释的“理发师悖论”，甚至上了“午间半小时”节目，可见公众对悖论的兴趣之大。

悖论（paradox）这个词是多义的，字面上的意思是违反常识、包含矛盾的说法。在日常语言中，多指似是而非或似非而是的论证或论断；在理论讨论中，则主要是指从公认为正确的前提逻辑地推出矛盾（或矛盾等价式）。相应的论证和论断分别称作悖论性论证和悖论性论断，在不引起误解的情况下统称“悖论”。古代哲学家对悖论早就有所研究，主要是有关语义分析的悖论，所以后人归之于“语义悖论”。其中最著名的是“说谎者悖论”。它的简单变形是（如确实把话写在黑板上的方框之中）：

 

方框中这句话是假的

 

整个问题的关键在于既要引起矛盾，又要有事实支撑。试问：黑板的方框中的这句话究竟是真还是假？假使它为真，则意味它所断定的符合事实，也就是确实“这句话是假的”；反之，假定它为假，则意味着它所断定的与事实正好相反，也就是说并非“这句话是假的”，或者说，它是真的。简单地说，假定它真可推出假；假定其假又可推出其真。翻译成逻辑术语则有：这句话是真的，当且仅当，这句话是假的。这种矛盾等价式就构成了最简单的典型的（语义）悖论。

以上那种“说假话”悖论。确实很有趣又很伤脑筋。经常听人说，形式逻辑只管推理的有效性，即管不了大前提的真实性（那是事实问题，不是逻辑问题）。现在麻烦来了，试问谁最有资格称作方框中的话？回答是要看事实。可是，根据事实，“方框中这句话”恰恰就是“方框中这句话是假的”。可是事实上真的，却又是包含着矛盾的。糟就糟在这个矛盾是埋在通常所说的形式逻辑所管不了的大前提中的，并为背景知识所认可的（它只注意是否符合事实）。那样的话，其后再从有效推理推出矛盾的结果就不足为奇了。然而，在古希腊它至多被看作聪敏的哲学家所发明的一种智力游戏，没有人会认真把它看做十分严重的问题。

然而，20世纪初所发现的“罗素悖论”则不同了。尽管它的结构与上述悖论相似，也是一种从公认为正确的前提合乎逻辑地推出的矛盾，但它却产生在堪称严密科学楷模的数学大厦的基础部分。因此，罗素悖论的出现使整个逻辑界与数学界受到震撼。几千年来，逻辑学家与数学家一直致力于建立协调的、没有矛盾的逻辑与数学公理体系，但数学与逻辑的基础部分却一再出现悖论（其中尤以罗素悖论引人注目）。于是，逻辑学家面临这样的抉择：或者牺牲系统的无矛盾性（协调性），或者抛弃系统的完全性。许多学者都机智地提出了解决悖论的尝试，但没有一个可说是取得了整体上的成功。

现在，次协调逻辑学家站出来说话了。按照他们的看法，原来许多重要的“悖论”是事实上真的，是一种“有意义的矛盾”，次协调形式系统有能力消化吸收它们，甚至能把它们作为定理推导出来。可以说，悖论确实是一种特殊的逻辑矛盾，问题在于必须指明其特殊性所在。我们认为，悖论的特殊性在于，在已被接受的背景知识中埋藏着一个真矛盾，有时这个事实矛盾甚至可能表现为逻辑矛盾（如方框中的这句话的实例）。次协调逻辑突破了矛盾律的普遍有效性，因此也就扫除了理解上的障碍。

辩证哲学家则从另一种角度出发，历来主张存在着“真矛盾”（所谓“真矛盾”论题也即“辩证矛盾”），现代自然科学也为“真矛盾”的存在提供了强有力的支持。辩证法理论之所以为许多有偏见的逻辑学家所拒绝，主要因为他们把矛盾律神圣化、绝对化了，而辩证法理论家一时又缺乏可与原来的“协调性逻辑”分庭抗争的严密逻辑。现在好办了，次协调逻辑为一切包含句法上“有意义矛盾”的理论提供了深层逻辑。

次协调逻辑学家究竟如何理解悖论、二律背反以及诸如此类的概念？阿璐达在《次协调逻辑评述》（1980）中作了清楚的回答。她把悖论细分为五大类型：形式悖论、形式的二律背反、日常悖论、真实的二律背反和黑格尔论题。分述如下：

（1）形式悖论（formal paradox）。理论T中的一个形式悖论，是在该理论中（或者是在可能具有这种推导的元逻辑证明中）到处形如A和﹁A（其中﹁是否定号）的两个定理。

（2）形式的二律背反（formal antinomies）。理论T中的一个形式的二律背反，则是一种使在理论T中的任何形式公式都成为定理的元逻辑证明，因而理论T称为平庸的、句法上无意义的（trivial）。[11]

以上两种悖论都是对形式系统而言的，次协调逻辑对它们是区别对待的。在次协调性形式系统内部导出形式悖论（作为定理）是可允许的，但形式的二律背反却是不可证明、不可推出的。这表明，次协调逻辑并不一概地排斥悖论或矛盾，而只排斥“无意义的矛盾”（在这里则表现为排斥“形式的二律背反”），次协调逻辑也不一概地允许悖论或矛盾，而只欢迎“有意义的矛盾”（在这里则表现为允许“形式悖论”，因为它在次协系统中不会引起矛盾扩散）。次协调逻辑在悖论问题上的看法，与经典逻辑既有联系又有根本区别。相似之处在于，次协调逻辑也认为，“任何公式都是定理”的系统既然是在句法上“无意义的”，也就没有元逻辑的重要性。由此推出包含任何一个“形式的二律背反”的理论，既然是句法上“无意义的”，也就缺乏逻辑与元逻辑的价值。不同之处在于，次协调逻辑认为，含“形式悖论”的系统或理论（不同于含“形式的二律背反”）却并不是无意义的，而是恰当的、值得研究的。例如，后面我们将会看到，次协调集合论是含“形式悖论”的，但显然是不平庸的、有价值的。

（3）日常悖论。它的特点是“听起来荒谬，然而却有一种论证支持它”。又细分两种：1）似非而是的日常悖论；2）似是而非的日常悖论。先讲似非而是的日常悖论。例如一个20岁的人只过了5个生日。这话听起来令人吃惊，其实却是真的。假如我们所说的主人公生于闰年2月29日。罗素的“理发师悖论”——只给“不给自己刮胡子的人”刮胡子的理发师，究竟给不给自己刮胡子的问题。如果采取这样一种意义，即世界上没有一个村庄有这种理发师，则这个悖论也就变得似非而是。至于似是而非的日常悖论，可以拿关于0的除法为例。假定X=1，则X²=1，于是X²﹣1=X﹣1。若用X﹣1除两边，就得X﹣1=1，既然X=1，则有2=1。在它的论证中存在着被掩盖的谬误。“似是而非”的悖论，不是严格意义的悖论。

（4）真实的二律背反，也是一种非形式的悖论。这是指这样一种论证，它从公认的原则或前提出发，借助于被接受的推理方法而导致自相矛盾。这才是在哲学或逻辑学中学者们所认真研究的“悖论”。如格里林的悖论、说谎者悖论、罗素悖论等。

格里林（Grelling）在1908年提出了一个悖论，可称为“自指”悖论。他把形容词分成两种：1）自指的（自己指称自己），如“印刷体的”确实是印刷体的，“汉语的”确实是汉语的；2）不自指的（自己不指称自己），如“斜体字的”并非斜体字的，“德语的”并非德语的。问题在于，“不自指的”本身是否不自指的？显然，如果它是自指的，那就按其性质表明为非自指的；如果他不是自指的，那就通过双重否定又肯定了它是自指的。于是陷入了矛盾。

集合论中的“罗素悖论”具有特殊的重要性。因为集合论是现代数学的基石并与现代逻辑存在密切的关系，所以集合论中所出现的难以消除的矛盾，似乎使数学和逻辑受到根本性的威胁，罗素将集合分成两类：1）属于自己的集合，如概念的集合仍是概念；2）不属于自己的集合，如谁都知道马的集合不再是一匹马了。问题在于，“不属于自己的集合”，属不属于自己呢？如果属于自己，那么按照该集合的性质，它应当不属于自己。如果不属于自己，那么遵循排中律，它应当划到与之相对的“属于自己的集合”中去，又得具有“属于自己”的性质，于是陷入了矛盾。

按照通常的做法，以上几种非形式的悖论可以这样解决：日常悖论的“解”在于表明，或者这个悖论性结论干脆为真，或者认定它的论证其实是一个谬误。第一种解法适用于似非而是的悖论，第二种解法则适用于似是而非的悖论。然而，对于“实际的二律背反”这种悖论，在经典逻辑范围内看，我们除了修改或拒绝接受某些原有的公认原则（叫做“背景知识”或者“共识”）之外，看来没有其他解决办法（因为逻辑推理并没有错呀）。

莱布尼茨所发现的“部分等于整体”的悖论和康托尔（Cantor）所发现的“最大基数悖论”就是合适的例子。历史上，莱布尼茨曾发现，自然数和偶数之间可以一一对应起来：

1，2，3，…，n ，…

2，4，6，…，2n，…

既然如此，自然数集与偶数集的基数（项数）就是相等的了，但偶数显然只有自然数的一半。真奇怪，为什么能有“部分与整体等数”呢？从欧几里德时代起，“整体大于部分”就是公认的真理。问题在于，这条公理只适用于有限量，不适用于无限量。原有的背景知识成问题[12]。同样道理，康托尔在集合论中推出了“有比‘最大’基数更大的基数”的矛盾，过错不在于有效推理，而在于原有的背景知识。过去，人们只是根据有限量的经验才确信，存在着确定的最大基数。可是，对于无限量而言，原先公认的前提不再成立。事实上，当集合处于无限扩张过程中，也就根本不存在任何固定不变的“最大”基数。同理，也不存在固定不变的“最大”序数（最大序数悖论）。可见，若要消解上述悖论中的那种矛盾，必须修改某些原有的公认原则。从经典的“协调逻辑”立场看，只能如此。

次协调逻辑学家所采取的观点则不一样。在他们看来，“实际的二律背反”那样的悖论，虽然本质上是矛盾的，但它们多半是事实上真的，因此根本不必担心如何克服和避免这些矛盾的问题。这种考虑与下面第五种悖论有联系。

（5）黑格尔论题（或赫拉克利特—黑格尔论题）。这是保加利亚哲学家彼得洛夫（Petrov）在《黑格尔的真矛盾论题》。[13]（1974）中所提出的关于“存在真矛盾的论题”，大体相当于我国学者所说“辩证矛盾（命题）”。次协调逻辑学家将它归于非形式的悖论中的一个类型。

     彼得洛夫认为，经典逻辑的“不矛盾律”不应当绝对化。悖论当然违背“不矛盾律”，违背不矛盾律并不一定不真实、不客观。相反，黑格尔关于“真矛盾”的命题表明，一部分辩证的对立在逻辑悖论中得到反映或表达。彼得洛夫还认为，从黑格尔论题可以推出，无矛盾性只是抽象对象存在的充分条件（只要协调就可以存在），但不是必要条件（有矛盾也可以存在）；至于具体对象的存在，根本不受无矛盾性约束，实际是怎么样就怎么样，无矛盾性既不充分也不必要。彼得洛夫的观点引起次协调逻辑学者的强烈共鸣。关于悖论和“真矛盾”，次协调逻辑学者和辨证论者有许多共同语言。

    阿璐达认为，辩证法的“真矛盾”论题显然只有借助于次协调逻辑才能得到支持，经典逻辑不解决问题。

借助次协调的形式技巧可以表明，“黑格尔论题”在形式系统内可以事实上为真，也就是表明，存在这样的次协调理论，在其中一定对象可以具有不协调性质。例如，它可以既属于又不属于同一个类（罗素集合）。由此不难看出，次协调逻辑的主要功绩在于，黑格尔的“真矛盾”论题在形式系统的抽象水平上被证明可以为真。原来，对于同一个悖论和矛盾，由不同观点出发可引出截然相反的结论。一个从经典逻辑观点看来必须竭力排除“形式的二律背反”，也许从次协调逻辑观点看却是一个“真矛盾”，一个似非而是的、真实的悖论。以上五种分类只是相对的，有条件可转化的。

当然，关于具体对象的“黑格尔论题”的有效性，“真矛盾”究竟真不真，符合不符合事实，那是一个经验问题，具体科学问题，而不是逻辑问题。

现在让我们举几个现代自然科学的实例，来支持辩证法的“真矛盾”问题。第一个例子是关于量子力学与相对论之间的“真矛盾”。1935年，爱因斯坦、波道耳斯基、罗森联名发表了著名的“EPR论文”，其中提出一个悖论，确实发掘了量子力学背后在更深层次上有一个类似于“超距作用”的假说。EPR悖论揭示出与狭义相对论相联系的“局限性原理”和与量子力学相联系的“非局域性原理”的尖锐对立。按照狭义相对论，空间上分隔开的客体（即“远隔粒子”）的实在状态是彼此独立的，测量粒子1不知粒子2，因为根本不存在超距相互作用。可是按照量子力学，两个远隔粒子所组成的复合量子系统却具有“整体关联性”，两个远隔粒子的状态在测量过程中密切相互关联，以组成不可分离的系统整体状态，因此测量整体粒子1也就必定知道粒子2的状态。EPR悖论所揭示的现代科学两大支柱之间的“真矛盾”和有意义的不协调性是不容忽视的。[14]

第二个例子是系统科学中最新的混沌理论。现代科学中的混沌概念，特指由确定性规律导出的不确定性、无序。但另一方面，这种无序背后又存在深层的稳定结构，保留着明显的有序的踪迹。一般人总是把无序与有序、偶然性与必然性截然对立起来。谁能料想到，像瘟疫流行期的死亡人数变动、某资本主义国家的棉花价格波动等看来极不规则和无序的现象背后，竟有闻所未闻的惊人的规律性，竟有什么“非线性系统的普遍模式”，甚至“普适常数”。混沌研究打破了许多执迷不悟的人的严格决定论的梦想，同时又粉碎了绝对偶然论的神话。因为混沌是由严格决定论自生的随机性，而这种看来无法预言的随机性却又具有深层稳定结构并隐含新的有序。总之，偶然性与必然性真是互相渗透的，这是现代系统科学所揭示的新事实。黑格尔关于“偶然的东西是必然的，必然性是自己规定自己为偶然性，而另一方面，这种偶然性又宁可说是绝对的必然性”的论题[15]，不再是奇异的文字游戏、热昏的胡说、自相矛盾的怪论了，而是由最新现代科学所证实的“真矛盾”和“有意义的矛盾”。换句话说，辩证法的“真矛盾”论题得到了现代科学的支持，并为次协调逻辑提供了新的现实原型。

总起来说，次协调逻辑学者把悖论分为形式悖论、形式二律背反、日常悖论（包括似非而是的真悖论与似是而非的假悖论）、真实的二律背反、黑格尔真矛盾论题等多种形式。其中形式悖论、实际的二律背反、黑格尔论题作为“有意义的（真）矛盾”，有可能在次协调逻辑中在形式水平上得到合适处理和表达；然而，形式二律背反则在形式系统中作为句法上“无意义矛盾”而被排除。至于似是而非的日常悖论，只需找出非形式论证中的谬论就可以排除。

一句话，一切“有意义的矛盾”都构成次协调逻辑的现实原型，悖论问题也没有例外。

11.4达科斯塔的次协调逻辑

   巴西逻辑学家N.C.A.达科斯塔应当说是次协调逻辑系统的真正创建者。20世纪50年代末他就认识到研究矛盾理论的重要性，并致力于建立次协调逻辑的演算系统及其语义学。1963年他成功地构造了次协调谓词演算系统，这标志着次协调逻辑的真正诞生。[16]

达科斯塔的奠基性论文名为《非协调形式系统》（1963），其中包含他所构造的好几个次协调逻辑系统。有次协调的逻辑演算Cn、谓词演算C^*_n（不带等词的）和C⁼_n（带等词的），还有相应的摹状词演算D_n ，以及在集合论中的某些应用。我们将逐个介绍。

达科斯塔的次协调逻辑思想发端于1958年。这一年他开始阐明研究矛盾理论具有极端重要性的思想。他认为，绝不应当不分青红皂白地排除矛盾理论，因为一个理论对公设的选择是自由的，而且许多理论在其初始假定中事实上含有矛盾。达科斯塔认识到，不协调理论应当具有与协调理论同等的逻辑地位，不过这里更有与经典逻辑不同的逻辑基础，也即必须建立在句法上“有意义的”[17]（相当于“并非过完备的”）而且不协调的系统的系统之上。

达科斯塔的次协调形式系统是从命题演算C_n（1≤n≤ω）出发的。C_n演算为整个次协调逻辑定下了基调。C_n是一个等级系列：C₀是一个经典命题演算，可作参照基准；C₁是第一级、C₂是第二级，……一直可以延伸到无穷极Cω的次协调命题演算（ω可以表示无穷）。

整个次协调形式系统（首先是C_N）都必须满足以下条件：（1）在这些系统中矛盾律﹁（A&﹁A）将不再普遍有效；（2）其中每一个系统，从两个矛盾命题出发一般地演绎出任何命题B；（3）必须尽可能多地包容经典命题演算C₀的推理模式和演绎规则，并且不妨碍前两个条件。第一条表明原先视为不可触动的经典矛盾律，将要受到限制并且被削弱；第二条表明司各脱规则已经失效，矛盾不会在系统中任意扩散，矛盾未必是祸害。这两条都体现出对矛盾的相对宽容态度。第三条表明次协调逻辑对经典逻辑仍有继承性，它满足科学中联接非经典理论与经典理论的“对应原理”。总起来，这三个条件是对次协调逻辑的特征性描述。有时候，在“补充说明”中还附加两个条件：（4）在等级系列C₀，C₁，…，Cω中的每一个系统中，后随的系统严格弱于在先的系统；（5）经典命题演算的所有定理，在C_n的遵守矛盾律的命题（称为“合经典”命题）[18]中仍然有效。这两条是从属于前三个条件的。第四条是对第一条的进一步说明，它表明矛盾律在C_n中是逐级弱化的，矛盾律的约束力是越来越小。第五条是第三条的一个特例，新系统中遵守矛盾律的命题当然与经典逻辑一致。它也是进一步印证“对应原理”的，正如量子公式在极限情况下会退化为经典公式，次协调命题演算C_n当n=0时也会蜕变为经典命题演算C₀的。对应原理几乎对所有非经典逻辑有普遍意义。[19]

11.5次协调命题演算C_n

命题演算C_n的初始联词有：⊃（蕴涵）、&（合取）、∨（析取）、﹁（更一般的否定）；有命题变元和括号，公式的概念等。定义都照常，唯有否定词已被弱化，相当特别。A与非A可以有重叠部分，两者不一定遵守矛盾律（符合矛盾律只是一个特例）。与此相应，需引进特殊的标记法和新定义：

    1、A⁰表示A遵守矛盾律，即为对公式﹁（A&﹁A）的缩写。

2、带星号的否定﹁^*表示经典否定，不带星号的否定﹁则表示更一般的否定，次协调否定。这样从句法上说，两者的关系是﹁^*A=_df﹁A&A⁰。这就是说，更一般的否定（并不要求遵守矛盾律）加上矛盾律的限制，就转化为经典否定。

否定词的弱化和矛盾律失去普遍有效性问题，是理解次协调逻辑的一个关键问题。从经典否定到次协调否定的转变，意味着A与非A之间的关系从“非此即彼”模式向“亦此亦彼”模式的过渡。再说矛盾律的缩写法A⁰，对于第一级次协调命题演算C₁来说已经足够，但对更高级的演算则需要相应的更复杂的缩记法。这就是：Aⁿ为公式A^00…0的缩写（其中符号⁰重复n次）；而A^（n）则表示公式A⁰&A⁰⁰&…&Aⁿ。缩记符号统称“稳定性算子”。

为了便于理解，我们先以次协调逻辑命题演算C₁为例说明问题。演算C₁的公理和初始推理规则如下：

1）A⊃（B⊃A）                       

2）（A⊃B）⊃（A⊃（B⊃C））⊃（A⊃C）

3）A⊃（B⊃A&B）

4）A&B⊃A

5）A&B⊃B

6）（A⊃C）⊃（（B⊃C）⊃（A∨B⊃C））

7）A⊃A∨B

8）B⊃A∨B

9）A，A⊃B/B

10）﹁﹁A⊃A       

11）A∨﹁A

12）B⁰⊃（（A⊃B）⊃（（A﹁B）⊃﹁A））

13）A⁰&B⁰⊃A⊃B⁰&（A&B）⁰&（A∨B）⁰

其中大部分公式是与经典逻辑一致的。首先需要做特别解释的是12）和13）。12）可以简单地理解为，如果B遵守矛盾律，那么若A蕴涵B又蕴涵非B则是不行的（归谬律）。13）的意思是，如果A、B分别遵守矛盾律，则连结A、B的蕴涵式、合取式、析取式都要遵循矛盾律。这两个公设的实质是对矛盾律的使用范围作了限定。其结果是，在矛盾律管辖范围之外（即对于系统内并非“合经典的”命题），就允许不平庸的矛盾。这就使得在实际推理中具有“亦此亦彼”意味的陈述在形式系统中在一定程度上得到反映。其次，值得提醒一下的是，10）、11）、12）中所出现的否定词﹁，其实是更一般的否定词（要当心！不要不知不觉地把它当做经典否定，不要被符号的外表所迷惑）。次协调否定在此包含“亦此亦彼”的意味，A与﹁A未必相互排斥，并不一般地遵守矛盾律。

总之，在次协调命题演算C₁中，联词⊃，&，∨，﹁^*等分别具有经典命题演算C₀中的蕴涵、合取、析取、否定等的一切经典性质，次协调否定词既继承经典否定的部分性质（如取相反真值），又在矛盾律问题上放宽了限制。因此C₁作为第一级次协调命题演算，既包含经典演算C₀又弱于C₀。更一般地，在次协调命题演算谱系C_n（0≤n≤ω）中，后随的一级总比在先的一级要弱些，而最后一级Cω最弱。

我们已经弄清楚什么是演算C₁，现在要把它推广到次协调命题演算的等级系列C_n不再存在实质性的困难。因为在更高等级的演算中，C₁的大部分公理和初始推理规则都原封不动，只是对各级中遵守矛盾律的命题需要用更复杂的缩记法，为此，公式12）和13）就改写如下：

12^')B⁽ⁿ⁾⊃（（A⊃B）⊃（（A﹁B）⊃﹁A））

13^'）A^（n）&B⁽ⁿ⁾⊃（A⊃B）ⁿ&（A&B）^（n）&（A∨B）^（n）

这两个公式的解释与原先的12）和13）的解释完全一致，只是原先的12）和13）只对第一级演算C₁而言，现在的两个公式对任意等级的演算以及各级演算的总体——C_n等级系谱都适用，仅此而言。

下面我们接着介绍命题演算C_n的基本定理及其赋值语义学

定义1  在C_n，1≤n﹤ω中，﹁^*A是﹁A&A^（n）的缩写。意即经典否定是一般否定加上矛盾律的限制。

定理1  如果在直觉主义逻辑[20]的肯定命题演算中├A，则在Cω中├A。（系统中不出现否定词的部分为“肯定逻辑”，在命题演算中也是如此。├为衍推号，即可推出公式。）

定理2  经典肯定命题中所有规则和有效推理模式在C_n，1≤n﹤ω中也是有效的。

定理3  如果A₁，A₂，…A_n是Γ∪{A}的公式集的基本组元，则在C₀中Γ├A的充分必要条件是在C_n，1≤n﹤ω中Γ，A₁^（n），…，A_m^（n）├A。

定义2  假如存在一个公式（不是推理模式）F，使得不平庸的系统S通过附加F作为一个公设之后变为平庸的，则这一不平庸的系统S就称作有限步可化平庸的。（读者可能还记得，“平庸”词，原文trivial，表示使系统内任何公式都成立；“不平庸”non-trivial则相反，表示系统内并非任何公式都成立。这两个概念是借用于集合论的。）

定理4  系统C_n，1≤n﹤ω是有限步可化平庸的，但Cω本身却不是。整个系统C_n，1≤n﹤ω是不平庸的。

定理5  在等级系列C₀，C₁，…C_n，…，Cω中的每一个系统都严格强于它的后面的一个。

定理6  系统C_n，1≤n﹤ω是用有限真值表不可判定的。

定理7  令A为C₀的一个公式，而A^*为在A中用﹁^*替代﹁之后所得的公式。若在C₀中├A，则在C_n中，1≤n﹤ω中├A^*。

次协调命题演算C_n（1≤n﹤ω）有自己的赋值语义学。大家知道，语义学是研究逻辑表达式与表达式的意义之间的关系的。最常用的语义学是“可能世界”语义学，借用可能世界概念对表达式作解释（凡是可以想象的“无矛盾世界”都被认为是可能的）。问题在于次协调逻辑允许真矛盾，因此无法用“可能世界”解释。好在另有一种强调语言倾向的语义学，称作“模型集合论”语义学，可以适用于次协调逻辑，首先适用于演算C_n（1≤n﹤ω）。它是通过如下赋值定义得出的：

定义3   令ʄ为C_n，0≤n﹤ω的公式集，对C_n的每一赋值Θ：ʄ→{0,1}，使得：

1）若Θ（A）=0，则Θ（﹁A）=1；这是说非A对A的赋值函数取相反真值（其中：1真，0假），反之不必然。可见，矛盾律的限制已经放宽。

2）若Θ（﹁﹁A）=1，则Θ（A）=1；这是说A对双重否定非非A的赋值函数取相同真值，反之不必然。可见，双重否定律的限制也已经放宽。

3）若Θ（B^（n））=若Θ（A⊃B）=Θ（A⊃﹁B）=1，则Θ（A）=0；这是说，若B遵守矛盾律，而由A蕴涵B和A蕴涵非B的赋值函数都取真，则这样的A的赋值只能取假。也就是归谬法原理仅对合经典命题成立，却不再普遍有效。

4）Θ（A⊃B）=1，当且仅当，或者Θ（A）=0，或者Θ（B）=1；

5）Θ（A&B）=1，当且仅当，Θ（A）= Θ（B）=1；

6）Θ（A∨B）=1，当且仅当，Θ（A）=1，或者Θ（B）=1；

4）、5）、6）三式是蕴涵式、合取式、析取式的性质的必然结果。例如，蕴涵式的赋值的真，当且仅当，前件的赋值为假或后件的赋值为真，因此此时能保证“不前真而后假”。合取式的赋值为真，当且仅当，各合取项赋值都为真。析取式的赋值为真，当且仅当，至少一个析取支的赋值为真。这些都很显然。

7）若Θ（A^（n））= Θ（B^（n））=1，则Θ（（A⊃B）^（n））= Θ（（A&B）^（n））=Θ（（A∨B）^（n））=1。

赋值定义7）实质上无非将C_n的公设13）翻译成赋值语言而已；若A、B分别遵守矛盾律（赋值函数取真），则联结A、B的蕴涵式、合取式、析取式都遵守矛盾律（赋值函数都取真）。

定义4  一个赋值Θ是公式集Γ的一个模型，当且仅当，对于Γ中每一个A，有Θ（A）=1。而Γ├A意味着，在作为Γ的模型的每个赋值中Θ（A）=1。

最大谐调集的一般性质被扩大到最大不平庸集。仿照数理逻辑的通常模式，但用﹁^*替代﹁，就可以证明，每一个不平庸集，是最大不平庸集的子集，而每一个最大不平庸集有一个赋值（这个赋值是它的一个模型）。仍仿照数理逻辑的通常模式可证：

定理8  在系统C_n，1≤n﹤ω中，公式集Γ├A，当且仅当，ΓㅑA。

解释：符号├（“可推出”）表示公式A是系统C_n的定理，即从C_n的公理可推出A，这是指句法上的有效性；而符号ㅑ则表示公式A是系统C_n中的逻辑真理，即在C_n的一切解释中都为真，这是指语义上的有效性。定理8说的是两者互为充分必要条件。

定理9  系统C_n，1≤n﹤ω是可判定的。

达科斯塔的合作者阿尔芙（E.H.Alves）在《不协调逻辑：C_n，1≤n﹤ω演算研究》（1976）中指出，从赋值定义出发可以定义准真值表，从而证明[定理9]，而费德尔（M.Fidel）在《C_n演算的可判定性》（1977）中则使用了另外的方法。

11.6次协调谓词演算与摹状词演算

    达科斯塔在C_n演算的基础上构造了次协调谓词演算C_n^*和C_n^*，1≤n≤ω。其中C_n^*是不带等词的谓词演算。它的基本公设是C_n的那些对应公设，再附加如下公设（限制条件如常，即与数理逻辑中的一般要求相同）：

1）A（t）⊃∃xA（x）         3）A（x）⊃C/∃xA（x）⊃C

2）∀xA（x）⊃ A（t）        4）C⊃A（x）/C⊃∀xA（x）

其中1）读作：如果A（t）真，则有x使A（x）真；2）读作：如果对所有x，A（x）为真，则A（t）为真；3）读作：从A（x）蕴涵C可以推出，有x使A（x）蕴涵C；4）读作：从C蕴涵A（x）可以推出，C对所有x蕴涵A（x）。

5）若A和B是等值式，或其中之一可以从另一个公式通过消去空量词而得出，则A≡B是一个公理[21]。

6）∀x（A（x））^（n）⊃（∀xA（x））^（n）

7）∀x（A（x））^（n）⊃（∃xA（x））^（n）

6）、7）两式是关于A（x）遵守矛盾律时的量词公式。其中7）表示，对所有x，A（x）遵守矛盾律，蕴涵有x使A（x）遵守矛盾律。公设6）则表明全称量词可以移入表征“稳定性算子”作用范围的括号之内。可读作：如果对所有x都有“A（x）遵守矛盾律”，那么就有“对所有x，A（x）遵守矛盾律”（注意引号管辖范围的差别）。

C_n^*，1≤n≤ω等级系列中的最后一个C^*ω，其附加公设只包括1）至5），而不包括6）与7）两个。

另有一种带等词的次协调谓词演算C_n⁼，1≤n≤ω，是与C_n^*相应的那些公设，再加上如下等词公设：

8）x=x

9）X=y⊃（A（x）⊃A（y））

在命题演算C_n中的定理1至定理7都可以很自然地扩展到谓词演算C_n^*和C_n⁼中去。

阿璐达和达科斯塔于1977年已建构了C_n^*和C_n⁼的语义学（但可数无穷极的演算C_n^*和C_n⁼的赋值语义学仍未很好解决，它们不能用有限真值表进行判定）。

定理10  C_n^*和C_n⁼，1≤n≤ω是不可判定的。

定理11  若在C_n^*中Γ├A，则根据Γ中公式的K-变换，所有K-变换都是可推演的。

定理12  若在公式A中不出现符号=，则在C_n⁼ 中├A，当且仅当，在C_n^*（1≤n≤ω）中，├A。

在达科斯塔的次协调形式系统的最后部分所要介绍的是摹状词演算D_n，1≤n≤ω。

摹状词D_n是这样得出的：在C_n，1≤n≤ω中引进摹状词符号1以及涉及摹状词的新公设D₁-D₅。符号记法参照了罗素的摹状词理论，但其符号与规则主要取自罗塞尔的《数学家的逻辑》（1953），并做了适当的更改。

若F（x）是一个公式，则用lxF（x）表示“如此这般的客体，使满足……（该公式）”。假如有且仅有一个客体满足，则lxF（x）就专指这个客体；否则lxF（x）将指称任一客体。例如，“那个是世界最高的山峰”专指喜马拉雅山的珠穆朗玛峰。次协调命题演算C_n，1≤n≤ω的语义学，可以扩展到D_n，1≤n﹤ω中去。不过最后一级演算Dω（我们记得ω代表可数无穷）仍缺乏适当的语义学。

D_n的基本公设是C_n的公设1）-13），再加上如下带摹状词的公设：

D₁ .∀xF(x)⊃F(lyQ(y))

D₂ . ∀x(p(x)≡Q(x))⊃lxP(x)=lxQ(x)

D₃. lxF(x)=lyF(y)

D₄.P(lyQ(y))⊃∃xP(x)

D₅. ∃xP(x)⊃(∀x((lxP(x)=x)≡P(x)))

其中D₁ .可读作：若对所有x都有F（x），则“有如此这般的y满足Q（y）”也使公式F成立；D₂ .可读作：若对所有x，P（x）等值于Q(x)，则有：如此这般的x满足P（x），就是有如此这般的x满足Q（x）；D₃. 读作：有如此这般的X满足F（x）就是有如此这般的y满足F（y）；D₄.读作：若“有如此这般的Y满足Q（y）”使公式P成立，则有x满足P（x）；D₅. 读作：若有x满足P（x），则对所有x，“有如此这般x满足P（x）”等于x，就整个等值于P（x）。

定理13  令A₁，A₂，…，A_m为Γ∪{A}中公式的基本组元，则在D₀中公式集Γ├A，当且仅当，在D_n，1≤n﹤ω中，A₁^（n），…，A_m^（n）（即A₁，…，A_m在各级都遵守矛盾律），公式集Γ├A。

定理14  令F为D₀的一个公式，而F^*为用﹁^*替代﹁后由F而得到的公式。而D₀中├A，当且仅当，D_n，1≤n﹤ω中├F^*。

定理15  D_n是C_n⁼，1≤n≤ω的一种保值的扩展。也就是说，C_n⁼的所有定理在D_n中仍然是定理，反之不然。

从形式系统角度看，次协调逻辑的创建者在一开始就为次协调形式系统（首先是命题演算系列Cn）规定了基本要求。其中有好几条都很好地体现了对应原理对开创新的非经典逻辑的指导意义或示向性作用。其中最有代表性的两条是：（１）必须尽可能多地包容经典命题演算C0的推理模式和演绎规则（除非它对表明新逻辑的特异性有妨害）；（２）经典命题演算的所有定理在次协调命题演算（为等级谱系）的“合经典命题”（即遵守矛盾律的命题）中仍然有效。这两个限制条件清楚表明了次协调逻辑与经典逻辑之间存在渐近一致关系，次协调公式能在极限情况下过渡到经典公式。另外两个要求：(a)在次协调系统中矛盾律(A∧A)将不再普遍有效；(b)在诸次协调系统中邓•司各脱规则失效，即从两个矛盾命题也不能一般地演绎出任何命题B。后两个限制条件反映出次协调逻辑的特异性，或者说它与经典逻辑存在根本对立性。

次协调逻辑在具体建构形式系统过程中，特别是在“稳固性算子”的使用技巧上，集中表现出对应原理的启发性作用。在次协调逻辑中，任一次协调公式A，只要在其右上角画个圆圈(A°)，原有公式就自动退化为经典公式。具体地说，A°为公式﹁ (A∧﹁A)的缩写，即表示A遵守矛盾律。在A右上角的圆圈°看作一种特殊的算子，称作“稳固性算子”，它行使对应原理所要求的“极限过渡”的功能，作用在公式A上，A就变为合乎经典要求的“合经典的”(well-behaved)公式。与稳固性算子相关，次协调否定﹁与经典否定﹁*之间也满足对应原理。次协调否定并不一般地遵守矛盾律(A与A之间可以部分地重迭，并非非此即彼）。而经典否定（用打星号来区别）﹁*A＝def ﹁A∧A°。这就是说，次协调否定一加上矛盾律限制就转化为经典否定，﹁*A是﹁A的特例。

我们再来看看，在次协调命题演算C1的公理中稳固性算子是如何行使对应原理的功能的。

(12)B°→((A→B) →((A→﹁B) →﹁A))

(13)A°∧B°→(A→B)°∧(A∧B)°∧(A∨B)°

第一式表明，在次协调形式系统中，尽管归谬律失去普遍有效性，但对合经典命题，归谬律却仍然有效。第二式则表明，如果A、B都是合经典的，那么连结A、B的蕴涵式、合取式、析取式全为合经典的。由此可见，尽管次协调逻辑在总体上以“亦此亦彼”模式替代了“非此即彼”模式，然而扬弃之中有保留、有继承。在稳固性算子所圈定的有限范围内，矛盾律与经典逻辑继续有效。反过来说，上述两个公式还有深一层的含义，即在矛盾律管辖范围之外（也就是次协调系统内的非“合经典命题”），就允许不平凡的矛盾。

11.7次协调逻辑与逻辑哲学

讨论次协调逻辑的哲学意义，首先就是讨论它的逻辑哲学意义。因为逻辑哲学就是现代哲学中这样一种新分支，它以对逻辑的哲学分析为目标。次协调逻辑哲学的出现，对“非经典逻辑”的合理存在是一种强有力的支持，这也就是对逻辑哲学的一个基本观点的强有力的支持。

次协调逻辑不仅属于非经典逻辑，而且属于变异逻辑。次协调逻辑是比直觉主义逻辑（后者主要触动了排中律）更激进、更带革命性的一种变异逻辑。这是因为它触动了在经典逻辑中（甚至可以说在人类思维中）从来就认为“神圣不可侵犯”的矛盾律，修改了否定词的经典概念。次协调逻辑启示人们：甚至矛盾律失去普遍有效性也并不可怕，尽管经典定律被削弱了，然而正确思维并不因此失去基本保证。换句话说，逻辑所应有的确定性、明确性、前后一贯性和论证力量可以依然如故。

次协调逻辑作为一种变异的非经典逻辑，从认识论上说，它的出现是对“无误论”信念的巨大冲击。特别是对“逻辑无误论”信念的巨大冲击。在科学哲学中，知识可误论的观念逐渐代替了知识无误论：科学不再认为是神圣不可侵犯的（费耶阿本德）；没有任何科学理论可以永远免于被证伪（波普尔）；科学理论经过科学革命而得到根本性的改造（库恩）。原先以为，科学的基本原理和基本概念（例如牛顿的反作用定律、质量不变的概念）是经过千锤百炼、久经考验的，是建立在牢固可靠的经验基础之上，因而是绝对不可动摇、不容置疑的永恒真理。但是，爱因斯坦相对论的出现破除了关于经典力学是“永恒真理”的迷信，使人们认识到，科学上经过反复检验的基本原理和概念仍有可误性，仍要再向纵深发展。在无限的人类实践面前，不断接受新的考验和重审，有时需要给予根本性的改造。

从前人们认为，数学和逻辑是涉及必然真理的特别领域，似乎是先天的和不可误的。甚至像波普尔那样的科学哲学中的可误论者，却在数学和逻辑领域变成无误论者。波普尔相信矛盾律是不可误的，关于“A与非A可推出任意B”的司各脱规则也是不可误的（他甚至以此为理由，错误地反对“矛盾辩证法”）。从前，欧氏几何曾被看作是普遍、唯一、必然的几何真理。可是非欧几何的出现打破了欧氏几何是空间的永恒真理的梦想。欧氏第五公设（等价于平行线的唯一性）和三角形内角和是180度的定理，历来被认为是几何学真理不可动摇的支柱。可是，罗氏几何作为一种非欧几何，在数学上首次以严谨的态度动摇了平行公设以及内角和定理的绝对地位。进一步说，具有更强烈非正统倾向的现代数学家曼德勃罗所发动的几何学革命，比非欧几何更激进。无论欧氏空间还是非欧氏空间所研究的都是规则性、整形，无论三维、四维都是整数维。然而曼德勃罗的“分形几何学”却是真正标新立异的，它是研究非整形（即分形）和非整数维（即分维）的。新几何学所反映的是宇宙的粗糙和不圆润，凸凹和不光滑。这是斑痕、麻点、破碎、扭曲、缠绕、纠结的几何学。曼德勃罗（Benoit Mandelbrot）发明了理解世界本质的新模型或新的概念框架，使奇怪形状成为有意义的对象。总之，非欧几何，尤其是分形几何学的出现，不仅是导致几何学思想的革命，而且还导致人类理解力的革命！

与此十分类似的是，亚里士多德的矛盾律和经典的否定概念，历来被认为是逻辑学中不可动摇的支柱。可是，次协调逻辑则在逻辑上首次以严谨的态度动摇了矛盾律的绝对地位，相应地从根本上改变了否定词的原有概念（比多值逻辑更进一步，它是在二值语义学前提下做到这一点的）。由此可见，次协调逻辑对于哲学的意义，与非欧几何、分形几何对于数学哲学的意义以及相对论对于科学哲学的意义是那么相似！次协调逻辑的出现，导致人们对逻辑科学的全新理解。原来，任何逻辑学家关于逻辑真理的认识和信念都具有可误性，没有哪一种逻辑理论可以担保永远免于修改或被证伪，即使“不矛盾原理”那样的基础性原理也不能幸免。

次协调逻辑的哲学意义在于，它为各种实际科学的系统化提供了比经典逻辑远为丰富的概念图示和新的洞察力，提供了新的灵感的源泉。这是因为，次协调逻辑为一切含有矛盾而有意义的理论提供了基础逻辑，使人们得以重新看待许多不协调但又很重要的科学理论和数学理论。它使我们有可能借助于添加带有有意义的“不协调性”的物理实体或数学实体，来扩大传统科学和数学的领域。用这种方法，我们可以在科学（包括计算机科学）上和数学上得到精彩、有力而深刻的非经典系统，其中有些是从前人们连做梦也想不到的（因为过去只要一出矛盾，就不分青红皂白加以排除）。维特根斯坦关于矛盾与逻辑，早就提出过一种独特性见解，即认为数学中迟早会产生“矛盾演算”，那时人们将会由于摆脱协调性的束缚而自豪。正像突破“宇称守恒定律”普遍有效性的束缚，曾引起粒子物理学的革命一样，维特根斯坦所预言的“矛盾演算”，很可能对数学和逻辑带来新的生机。可惜，由于经典逻辑的矛盾律对数学家和逻辑学家的影响是根深蒂固的，要冲破这种思想禁锢绝非易事，要认真理解消化革命性的新思想还需要时间。

如果说，非欧几何的出现为人们理解空间的曲率性质和广义相对论的诞生创造了条件，如果说分形几何学的出现为描述世界的崎岖性提供了一种新的洞察力，那么，为什么不能设想，次协调逻辑对矛盾律普遍有效性的突破，很可能为理解现代宇宙关于时间—空间的悖论，粒子物理学关于分割、湮灭、转化、互为构成要素和连续—不连续的悖论，以及现代生物学关于生命的悖论提供了新钥匙。

总的来说，矛盾——这是辩证法的核心和实质。哪里存在有意义的矛盾，哪里就需要辩证哲学和辩证逻辑。次协调逻辑系统通过削弱矛盾律、弱化否定词，允许有意义矛盾进入形式系统，而为建构辩证逻辑的形式系统清除了障碍，开辟了道路，为辩证法理论也为一切包含“有意义矛盾”的不协调理论提供了可能逻辑基础。当然，我们并不否认，次协调逻辑对“矛盾”的处理方式既不是唯一可行的，也不是万能的，以后还可能找到更理想的替代方案。但是，不管怎么说，次协调逻辑毕竟做出了第一个成功的尝试，前进了一大步。

 

（原载于《非经典逻辑系统发生学研究》，南开大学出版社2011年7月版）