摘要 从逻辑哲学的眼光看，辩证逻辑应当定位于一种独特的、富有哲理性的非经典逻辑，因此它归属于逻辑，而辩证法作为它的原型则归属于哲学。辩证逻辑形式体系所追求的总体目标是越来越恰当地刻画、再现辩证法原型中的本质特征。我们所钟爱的辩证逻辑兼有次协调逻辑、相干逻辑和模糊逻辑这样的形式特性。然而，辩证逻辑形式化研究可以有多元化的进路。
关键词 辩证逻辑形式化 逻辑哲学 次协调逻辑 相干逻辑 模糊逻辑
辩证逻辑能不能算做一种真正的逻辑？它是一种什么样的逻辑？这是逻辑学界仍然具有争议性的问题。这里的争论焦点在于它能不能形式化。可喜的是，国内逻辑界的辩证逻辑形式化研究在1990年代取得了突破性进展。争论焦点已经从“能不能形式化”转移到“什么样的形式化更好”，这是辩证逻辑发展新阶段的主要标志。2000年之后，从事计算机人工智能研究的学者开始热情关注并积极投入辩证逻辑形式化的研究。近年来，争论尽管尚未尘埃落定，但是一些学者已经敏锐地感觉到辩证逻辑形式化出现的新转机，无论从国际或国内学术界的形势看，都是如此。
早在1982年全国第二届辩证逻辑讨论会上就有人提出，辩证逻辑是一种“哲学逻辑”(李志才)，另一个说法是一种“非经典逻辑”（桂起权）。在这里，我们把辩证逻辑看作一种富有哲理性的非经典逻辑。从逻辑哲学的眼光看，辩证逻辑应当归属于逻辑，而辩证法则归属于哲学。辩证逻辑形式化的总体目标是越来越恰当地再现辩证法原型中的本质特征。辩证逻辑的形式系统直接以辩证法为现实原型，辩证逻辑的形式句法学与形式语义学则分别地直接以传统辩证法原型中非形式、朴素的句法与语义为背景。那么，作为一种非经典逻辑，辩证逻辑具有什么样的逻辑特征呢？下面，我们将从逻辑哲学的视角来分析作为非经典逻辑的辩证逻辑。
一、作为一种哲理性非经典逻辑的辩证逻辑
美国逻辑学家雷歇尔（N.Rescher）将“哲学逻辑”一词用作富有哲学意味的各种非经典逻辑，我们赞成这一种用法（它与牛津传统学者所采用的讲究逻辑技巧的“广义语言哲学”的用法大不相同）。正如“数理逻辑”（即数学逻辑）一词表明了一种与数学基础密切相关的逻辑研究；相对地，“哲学逻辑”一词则表明了一种与哲学密切相关的逻辑研究。这类非经典逻辑的共同特点在于，它们通常与数学基础研究并无多少联系，相反往往具有明显的哲学背景和哲学意味。由于辩证逻辑是以辩证法哲学为背景的逻辑研究，因此它也属于一种哲学逻辑。
逻辑哲学（与哲学逻辑有别）首先是对逻辑的哲学反思，进一步还研究从逻辑引申出来的哲学问题。逻辑哲学的根本问题就在于逻辑的形式系统与其所刻画、所表征的现实原型是否恰当相符，其实这是在动态历史过程中逐步实现的。辩证逻辑并不例外。
那么，按照逻辑哲学的眼光看，辩证逻辑的形式体系所追求的总体目标是什么呢？我们的回答是，它就是越来越恰当地再现辩证法原型中的本质特征。诚然，映象（表征）与原型的关系往往是多层次的（可以是直接或间接的）。无论是形式的或非形式的句法与语义之间都相互制约。以辩证逻辑命题演算公理的建构为例，它就涉及四个层次的关联：
（1） 辩证逻辑命题形式系统中的推理规则的公理集（属于形式句法学层次）；
（2） 上述系统的形式解释，如真值表或者可能世界和别的类型的语义学（属于形式语义学层次）；
（3） 形式系统的规则和公理集（1）所对应的日常语言解读或原型（属于非形式的“不纯”句法学层次）；
（4） 形式解释（2）所对应的日常语言解读或原型（属于非形式的“不纯”语义学层次）；
来自经典逻辑学者方面，对辩证逻辑的批评有其合理的一面：用自然语言表述的、思辨哲学意味的“辩证逻辑”，还不能算严格意义的逻辑，并包含着难以与诡辩作严格区分的潜在危险。我们也认为，辩证逻辑如果不用形式语言进行合理重建，如果一直没有自己的一整套系统化的公理、规则、元定理和赋值语义学，它就不能进一步成长、进步并提高到较成熟的发展阶段。与此相关，对辩证法的逻辑基础的研究现状是远不能令人满意的，的确是一个亟待解决的问题。然而，我们决不因此接受“合理重建完全不可能”的观点。况且近年来已经可以看出有好的苗头。
辩证逻辑的合理重建也遵循形式化的通用程序。这就是说,要建构一个形式系统,都必须事先对其非形式原型进行充分而有选择的分析，然而通过概括、提炼、整修，用形式语言恰当地再现现实原型的某些本质特征（注意：“本质”具有相对性，表征、反映的方式是多样的，不时渗透着人类理性能动的建构作用）,这包括从句法上建构能畅通运行的形式系统,以及随后在语义上对此作出妥当的形式解释。应当说,如果一个形式系统能把辩证法基本规律（至少是把辩证法的核心——对立统一规律）容纳进去，并通过提炼、整修、重构，能在一定程度上再现其本质方面，则该系统就属于辩证逻辑形式系统的范畴。
二、辩证逻辑形式化的有限目标论题
辩证逻辑全面形式化的雄心壮志恐怕一下子难以实现，不可能“一口吃个胖子”。因此，我们提出有限目标论题（1992）。归纳逻辑史上的教训是，古典归纳主义者曾过分乐观地设想过“普遍有效的归纳机器”的可能性。多数现代归纳主义者，则走向另一极端，他们在否定具有精确规则和发现程序的归纳系统的可能性时，也把具有“有限目标的归纳机器”武断地加以排除了。可是，卡尔纳普却非常明智且果断预言了后一种有限目标机器的可能性。1970年代以来人工智能研究中培根程序（如培根1－6）重新分析经验科学定律的成功案例，证实了卡尔纳普“有限目标”论题的合理性。
根据同样道理，我们认为，人们不应当只根据建构“普遍有效的辩证逻辑形式系统”的巨大困难以及一揽子解决问题的不可能性，就武断地否定“有限目标的辩证逻辑形式系统”的可能性。我们认为，澳大利亚的卢特莱（R.Routley）和迈耶（R.K.Meyer）在《辩证逻辑、经典逻辑和世界的协调性》（1976）中通过建构DM与DL’来表达对辩证逻辑进行形式化的愿望，尤其是达·科斯塔与沃尔夫的以刻画“对立统一原理”为目标的次协调辩证命题系统DL(1980)，和相应的谓词演算DLQ (1985)以及刻画动态矛盾为目标的时态逻辑纲要（1989），应当看作是建构“有限目标的辩证逻辑形式系统”的重要里程碑之一。在这一方向上，我们也尝试作出一些改进的努力，建立了辩证逻辑公理系统DLA及DLB（1995，改进版2002），它们兼有次协调逻辑、模糊逻辑、相干逻辑的性质 。
1980年代，我国不少辩证逻辑学者还在为辩证逻辑究竟能不能形式化而烦恼，为此消耗不少精力。然而我们认为，人工智能研究的历史经验值得借鉴。人工智能研究的历史告诉我们，实干比卷入无谓争议更好。正当哲学家们还在为“机器究竟能不能思维？”、“怎样才算真正的思维？”等问题绞尽脑汁并且争论不休时，人工智能研究者避免过多介入这种争论，在实践中一步又一步地推进了机器智能的研究。看来这个历史教训是值得辩证逻辑形式化研究者和批评家深思的。实际上，次协调逻辑学者很少把精力消耗到“辩证逻辑究竟能不能形式化”、“怎样才能称得上不折不扣的辩证逻辑形式体系”等争论上，他们更像一个个实干家，在实践中一步一步地推进了次协调型的辩证逻辑的研究，从辩证命题演算DL到谓词演算DLQ，并向时态逻辑进军。
关于逻辑基本定律是否具有可修改性？激进的逻辑革新论者的回答是肯定的。若采纳苏珊·哈克的逻辑哲学观点，则可把非经典逻辑划分为温和的“扩展逻辑”和激进的“变异逻辑”。笔者把次协调型辩证逻辑归为变异逻辑，看作一种激进的非经典逻辑（正是由于这个缘故，我们被定位于“辩证新鹰派” ）。香港学者黄展骥在评论形式逻辑与辩证逻辑的各派关系时，则根据对待矛盾律态度或温和或激进的软硬程度不同，采取“鸽派”、“鹰派”的说法进行划分（这种划分经过张建军等人的补充分析，已经成为辩证逻辑界定型的“公共知识” ）：形式派、辩证旧鸽派和新鸽派、辩证旧鹰派和新鹰派。它们可以排列成一个“家族相似”谱系，相邻派别的观点是交叉重叠的。
逻辑的基本定律，尤其是矛盾律，被认为是经过千锤百炼的绝对不容置疑的“永恒真理”，似乎具有天生的认识论上的保险性。因此，在经典逻辑中，“A∧﹁A”作为逻辑谬误被绝对禁止。另一方面，由于“矛盾法则”恰恰是辩证法的核心和精髓，任何辩证逻辑形式系统因而不可避免地必须以某种方式容纳矛盾命题“A并且非A”。这个二难问题成了许多经典逻辑学者不可逾越的思想障碍，并成为他们拒斥辩证逻辑的主要理由之一。很显然，如果不从形式句法学和形式语义学角度处理好关于矛盾的二难，就不能为辩证法确立牢固的逻辑基础，也不能解开经典逻辑学者的思想疙瘩。这是一个关键问题。
好在非经典逻辑的倡导者卢卡西维茨已经为逻辑革新论者提供了思想武器。他通过对亚氏三段论的研究认识到矛盾律并非绝对地普遍有效。卢卡西维茨与瓦西里也夫还都通过非欧几何的类比（独立地）认识到，修改矛盾律以后将可能建立全新的非经典逻辑。这些观点具有解放思想的作用。
笔者认为，要建构辩证逻辑这种非经典形式系统，经典矛盾律的弱化可以选作理想的突破口。我们早就指出，矛盾律虽然不是简单地可违背的，但在一定条件下它可以被超越。在这种意义上，矛盾律的弱化、局域化（对于“合经典[Well-behaved] 命题”仍然成立）或“不再普遍有效”并不可怕。在新的非经典逻辑中，思维结构的正确性不会因之遭受任何损失。换句话说，逻辑的确定性、条理性和前后一贯性可以依然如故。我们将会看到，改造矛盾律的基本策略是，先划分两类“矛盾”和两类“否定词”（经典的强否定和非经典的弱否定），使矛盾律仍将保持“相对真理”的地位（其实，逻辑真理总是相对于系统而言的）。达·科斯塔的次协调逻辑最关心的则是从逻辑句法上区分两类矛盾：（1）nontrivial contradiction（不平庸的、句法上的无害矛盾）——它不会使系统内任何公式都变成定理；（2）trivial contradiction(平庸的、句法上的有害矛盾）——它将会使系统内任何公式都变成定理。次协调逻辑的奥秘之处在于，在公理上适当地限制了矛盾律与归谬律。它的最有特征性的公理是：在虚设矛盾律成立的前提下，仍然承认归谬律。矛盾律、归谬律在所圈定范围内（即对于合经典命题）仍有用武之地。然而，非经典命题则不受其约束，由此司各脱规则也不再是定理，这就使语义上的“辩证矛盾”（即彼得洛夫所谓“黑格尔真矛盾命题”）在句法上得到保护。
矛盾律与否定词关系密切。我们曾经指出，否定词的变革包含着深刻的哲学含义，并且敏感地反映出对于经典逻辑模式的革命性改造。莱欣巴赫的三种非经典否定词都能体现出一定的“亦此亦彼”的性质（例如，对于直接否定，第三值的否定与第三值同值等等），但这些否定运算中潜藏的辩证特性并不会使我们的思维陷入混乱。辩证逻辑如能构造一种含有辩证意味的否定词，并想有朝一日进入计算机运算，就得从中学到有益的东西。我们认识到，要构造辩证逻辑的形式系统，就逻辑联词而言必须拿否定词开刀（与此直接相关是限制矛盾律）。否定词必须多元化、非经典化，必须引进含有辩证意味的新否定词。
有人（如杜国平、万小龙）根据形式逻辑的对当方阵来看，指出次协调逻辑只是刻画“反对关系”的逻辑，次协调否定所针对的是“反对关系”，不是“矛盾关系”。若要问，对此有何评论？答曰：那是采用“固定范畴”的眼光看问题的必然结果（并不是错，但只代表一种视角）。反过来，如果从“流动范畴”的眼光看，则会出现另一种景象。通常刻画“反对关系”的次协调否定，在极限情况下会变成经典否定（从而也能刻画“矛盾关系”）。经典否定﹁*A=df﹁A&A0，变成次协调否定的特例。辩证法哲学中的“矛盾”一词是采用广义用法，属于流动范畴，“差异”、“反对”、“对抗”都只是“矛盾”范畴在不同条件下的具体表现形式。辩证法的“矛盾”概念在流动性之中仍然能够保持逻辑确定性，它可以借助于语境而加以限定。假如有人将辩证法的“矛盾”概念不假思索地与形式逻辑的对当方阵中的“矛盾”概念简单直接地等同起来，从而引起思想混乱，那就等于自讨苦吃！
必须指出，由于否定词的弱化和矛盾律的局部化，使得次协调逻辑潜在地含有某些辩证意味（还有，辩证法是其原型之一），但只有以刻画对立统一原理为目标的次协调系统DL、DLQ等才更直接属于辩证逻辑形式系统的范畴。我们并没有将次协调逻辑与辩证逻辑简单而直接地等同起来。
我们认为，对应原理应当被看作一条理解经典逻辑与多种非经典逻辑关系的启发式的通用原理，它具有重要的解释功能和助发现功能；辩证逻辑与经典逻辑的关系也满足对应原理，因此应当把它看作建构辩证逻辑形式系统的示向性原则。逻辑中的对应原理，最早由冯·威扎克在讨论量子逻辑时所提出。它的实质性内容可以概括为：尽管非经典逻辑作为“异类”在主导思想上与经典逻辑可能相背离，并且经典公式、定理在转换成非经典公式、定理时已经注入特异性，然而两者之间却存在“渐近一致关系”，即非经典公式将在极限情况下趋于经典公式。这种对应关系可以用作猜想非经典的新的未知公式、定理并完成转换过程的合理依据（启发式程序的核心）。同样道理，在辩证逻辑形式系统中，经典逻辑的基本模式可能被突破，原有公理、规则以及诸种运算子不能原封不动地被保留。形形色色的公理、新运算子出现了。然而，经典逻辑决不是简单地被抛弃，经典逻辑仍不失为应用非经典模式作对应性研究的一种有力的辅助框架。辩证逻辑对经典逻辑既有所突破又有所继承，例如次协调辩证逻辑DL和我们的DLA及DLB都如此。
在玻尔最后的日子里，在工作室的黑板上留下了黎曼面模型的草图。它被看作互补性思想“最后的符号记录”。黎曼面模型的优点在于，对刻画互补性构架而言：简明、直观、准确，抓住了要害，突出了结构方面的特征。玻尔对“互补性矛盾”是这样理解的：他发现，人类思想中的每一概念都包含歧义即多值性，这许多不同层次的含义之间，正好构成互斥又互补的关系。这正像一个多值复函数的值分布在黎曼面的不同叶面（层面）上一样。若要问，在黎曼面模型的表示中，“逻辑矛盾”对应于什么？是整个黎曼面呢，还是其中一个叶面？我们的回答是：“逻辑矛盾”对应于黎曼面的一个叶面，在同一个叶面上不可以既是A又是非A，不允许有逻辑矛盾。然而，黎曼面的整体则表征“互补性矛盾”，在整体中可以同时包含A和非A，两者“互斥又互补”，或者说“相反又相成”。这种独特的逻辑结构，这也就相当于辩证论者通常所说的“辩证矛盾”。由于A和非A必须分别出现在不同叶面上，因此不存在逻辑矛盾。罗森菲尔德在《量子革命》中说得好，“互补性”构架因其精致性而成为严密自然科学中“第一个确切的辩证方案的实例”。
20世纪90年代初, 笔者和陈晓平受当时研究辩证逻辑形式化积极分子的激发，很快认识到辩证逻辑实现形式化的突破已出现转机，因此联名发表《辩证逻辑形式化研究纲领》（1992），提出了“有限目标”的局部形式化的弱纲领（类比卡尔纳普的“有限目标”归纳机器），与赵总宽“普遍目标”的形式化强纲领适成对照。后来，为了答复邓晓芒、杨祖陶教授关于“辩证逻辑不可能形式化”的诘难，两人又在《辩证逻辑形式化论纲》（1996）中说，对邓晓芒等人称作“辩证逻辑”的内容，我们宁愿称作“思辨的辩证哲学”，那是只可意会（体验、领悟）而难以言传的“诗化的哲学”。对我们而言，辩证法中可形式化部分与不可形式化部分，分别对应其逻辑成分与纯粹思辨成分。
三、辩证逻辑形式系统所不可或缺的基本性质
我们在《辩证逻辑形式化论纲》中早就指出，从逻辑哲学观点看，辩证逻辑的形式系统直接以辩证法为现实原型，辩证逻辑的形式句法学与形式语义学则分别地直接以传统辩证法原型中非形式、朴素的句法与语义为背景。辩证逻辑的形式体系所追求的总体目标，就是通过“合理重建”、创造性建构越来越恰当地表征或再现辩证法原型中的某些最本质的特征。为了实现辩证逻辑形式化的弱纲领，陈自立和笔者构造了“有限目标的辩证公理系统DLA及DLB”（1995），这是建立在次协调逻辑（在形式系统内句法上可以容忍“不平庸的无害矛盾”，即不会造成任何公式都变成定理的破坏性后果）、相干逻辑（根据相干原理，不允许从前件得出不相干的后件）、模糊逻辑（不承认A与非A之间总是有绝对分明的界限）基础上的辩证逻辑。我们确信，次协调性（即包含不平庸的矛盾）、相干性和模糊性（即恩格斯所说的恰当地承认“亦此亦彼”）这样三种特性应当是辩证逻辑形式系统所不可或缺的基本性质，因此可以构成其必要条件。[D]则是刻画辩证法特有原理的公理组。需要稍加解释的是：
相干逻辑是非经典逻辑的一个特殊分支，其主要标记是引进相干蕴涵，它对有效性的经典观念的(即与内容毫不相干)直接提出异议。相干蕴涵要求前后件必须有共同的命题变元，这样就能适当顾及命题在内容上的联系。相干逻辑家发现，经典逻辑有个很大的毛病是诸如“ 雪是白的蕴涵纽约是个大城市”那样的蕴涵式，内容上毫不相干，逻辑上居然要算是真的，严重偏离了“如果，那么”的日常用法，背离了传统逻辑的本意 。作为奠基者，W.阿克曼、A.R.安德森和N.D贝尔纳普先后对相干蕴涵系统和衍推系统作出过贡献。国内学者中冯棉对相干逻辑最有研究。
直觉主义逻辑是非经典逻辑中又一个非常独特的分支，它以禁止使用排中律而闻名。这是直觉主义数学流派在构造数学证明时所专用的推理逻辑。创始者是布劳维尔。1912年他在《直觉主义和形式主义》一文中系统地阐明了直觉主义逻辑的基本观点。这一流派特别重视可构造性，即承认按确定的机械程序经有穷步骤可定义的概念或可实现的证明才有效，并对经典元概念真、假作了重新定向：命题的真就是构造地(即在有限步骤内)证明其为真，命题的假就是构造地证明其为假。A.海丁在《直觉主义的形式规则》(1930)中所建立的形式系统，被认为正确地刻划了布劳维尔的非形式原型。直觉蕴涵A→B，是这样一种构造，借助于它，根据任一关于A的构造便可得B的构造。我们的辩证逻辑形式系统DLB考虑了直觉主义逻辑的因素。
在2002年出版的《次协调逻辑与人工智能》中，我们对DLA与DLB的基础作了全面改进。辩证公理系统DLA由相干逻辑子系统RC（Ⅱ）加上模糊逻辑子系统FL再加上刻画辩证法特有原理的公理组[D]构成。亦即 (Ⅱ)]+ + 。在改进后辩证公理系统DLA中，相干子系统RC（Ⅱ）和模糊子系统FL的公理变得更完善了。
模糊逻辑的形式化是辩证逻辑形式化的重头戏，因为它在一定意义上体现了辩证逻辑的本质特征。笔者非常认可苗东升教授关于“模糊逻辑属于辩证逻辑的一种表现形式”的想法。在我们看来，关键在于认识到，尽管（1）不矛盾律、（2）排中律、（3）“不否认排中律” （A∨ A）均已失去普遍有效性，然而，与之对应稍弱一点的（1）双否定生成律 A→ A、（2）双否定消去律 A →A、（3）“不否认双否定消去律” （ A→A）却依然有效。同时认识到，尽管逆否律（A→B）→（ B→ A）不再成立，然而稍弱一点的逆否规则A→B├ B→ A却仍然成立。特别是我们发现，尽管J反证律（A→B）→（（A→ B）→ A）、J反证法A→B，A→ B├ A、C反证律（ A→B）→（（ A→ B）→A）、C反证法 A→B, A→ B├A等失去普遍有效性，然而在虚设不矛盾律成立的条件下，对应的J、C反证律、反证法重新有效。这就为正确的模糊推理提供了合理依据。
我们以DLA为例，展示辩证逻辑公理系统的具体特征。并且从逻辑哲学角度进行分析，DLA在多大程度上刻画了辩证法原型中的哪些特征。
四、辩证逻辑公理系统DLA的建立
1.约定：In(x,y)表示“x在y中出现”；(a,x) A表示“将A中 所有的x均代以a而得”；<a,x> A表示“将A中出现的x部分替换 为a而得”。
2.DLA的公理系统
2.1 形成规则(略)
2.2 纯逻辑公理与原始规则
正演算DLA+
(→0)├A→A
(→1)├A→((A→B)→B)
(→2)├(A→(A→B))→(A→B)
(→3)├(A→B)→((B→C)→(A→C))
［→4］A,A→B├B
(∧1)├A∧B→A
(∧2)├A∧B→B
(∧3)(A→B)∧(A→C)→(A∨B→C)
［∧4］A,B├A∧B
(∨1)├A→A∨B
(∨2)├B→A∨B
(∨3)├(A→C)∧(B→C)→(A∨B→C)
(«1)├(A«B)→(A→B)
(«2)├(A«B)→(B→A)
(«3)├(A→B)∧(B→A)→(A«B)
(∧∨)├(A∧(B∨C)→(A∨B)∨(A∧B)
［ ］├A(a) ╟├ xA(x) In(a,A(a))﹁In(x,A(a))
( 1)├ xA(x)→(a,x) A(x)
( 2)├ x(A→B(x))→(A→ xB(x)) ﹁In(x,A)
［ ］├A(a)→B╟├ xA(x)→B In(a,B)
( 1) ├A(t)→ x <x,t>A(t)
( ∧) ├A∧ xB(x)→ x［A∧B(x)］ In(x,A)
(=1)├x=x
(=2)├x=y→(A(x)→<y,x>A(x))
由于DLA是连续统［0,1］上的逻辑，因此有赋值：
ㅑ﹁(A∧﹁A)，当且仅当V(﹁(A∧﹁A))=1。（ㅑ表示语义衍推）
这时，我们称A与﹁A处于两极，也称A与﹁A处于对立，称A处于极值。
关于否定词﹁的公理组D
(D1)├A∧﹁A→(A«﹁A) 矛盾互易律
(D2)﹁(B∧﹁B)├(A→B)→((A→﹁B)→﹁A) (拟)对立统一律
(D3)├(Bj∧Bn)├(A→B1∧…∧Bj∧…∧Bn)→((Bn«﹁Bj)→﹁A ) 量变质变律
(D4)├A→﹁﹁A 否定之否定律Ⅰ
(D5)├﹁﹁A→A∨﹁(A∨﹁A) 否定之否定律Ⅱ
(D6) A→B├﹁B→﹁A 逆否规则
(D7)﹁(B∧﹁B)├(A→B)→(﹁B→﹁A) B与├B对立时逆否定律成立
DAL 的语义
定义Df2. 若x是一句法系统则以【x】表示其语义。DLA的语义是
【DLA】=【RC(Ⅱ)】Λ【FL】Λ【D】。其中【RC(Ⅱ)】表示相干逻辑RC(Ⅱ)语义(内涵格语义)。
【FL】=〈F,ψ〉,F是一非空的集合，称为模糊域。ψ称为F域的【FL】赋值：1.ψ(p)∈［ 0,1］,1为特指值。
2.ψ(a)∈F ；
3. ψ(x)=x, x为F中变域的变元，以英文斜体小写字母(或加下标)表示：
x ,y ,z ,xi, yi, zi, (i=1,2,3,…)；
4. ψ(An)=An, An为F上的一个n元关系，以斜体大写英文字字母(或加下标)表示。
5. ψ对公式A的递归定义
(1)若A是原子公式，ti是项(即ai或xi)，则
ψ(A(ti,…,tn))=A(ψ(t1),…, ψ(tn))；
(2)ψ(﹁A)=～ψ(A)=df 1-ψ(A)；
(3)ψ(A∧B)=ψ(A) ψ(B)= df min(ψ(A),ψ(B))；
(4)ψ(A∨B)=ψ(A) ψ(B)= df max(ψ(A),ψ(B))；
(5)ψ(A→B)=ψ(A)≤ψ(B)= df {=1，当ψ(A)≤ψ(B)
{=ψ(B)，其他
(6)ψ(A«B)=ψ(A)≡ψ(B)=df {=1，当ψ(A)=ψ(B)
{=min(ψ(A),ψ(B)),其他
(7)ψ( xA(x))=〈x〉ψ(A(x))=df 人x∈F ψ(A(x))
(8)ψ( x(x)=〈 x〉ψ(A(x))= df （倒的）“人”x∈Fψ(A(x))
本文不讨论“=”，关于它的拟逻辑词定义略。请注意两等号中间的拟逻辑词～,∧,∨,≤, ≡，【“人”和（倒的）“人”】
D的一个赋值是一个函数 V：F→｛0,1｝,使得：
1) V(A→B)=1 当且仅当 V(A)=0或V(B)=1
2) V(A∧B)=1当且仅当 V(A)=V(B)=1
3) V(A∨B)=1当且仅当 V(A)=1或者 V(B)=1
4) V(﹁(A∧B))=1 当且仅当V(﹁A)=1或者 V(﹁B)=1
5) V(﹁(A∨B))=1 当且仅当V(﹁A)=V(﹁B)=1
6) 如果V(A°)=1，那么V(A)=1或者 V(﹁A)=1
7) 如果V(A°)=0，那么 V(A)=0或者 V(﹁A)=0
8) 如果V(B°)=1，那么V((A→B)→((A→﹁B)→﹁A))=1
9) 如果V(A)=1，那么V(﹁﹁A))=1
10)如果 V(﹁﹁A)=1，那么V(A∨﹁(A∨﹁A))=1
11) 如果V(A)=V(﹁A)，那么V(A°)=0
12) 如果 V(A)≠V(﹁A)，那么V(A°)=0
13) V( xA(x))=〈x〉V(A(x))= x∈F 人V(A(x))
14) V( xA(x))=〈 x〉V(A(x))= x∈F 【（倒的）人】V(A(x))
D的公理为DL的A1—A12∪DLA的(«1)—(D7)；
DL公理系统A1—A12表述如下：
A1)├A→(B→A)
A2)├(A→B)→((A→(B→C))→(A→C))
A3) A,A→B├B
A4) ├A∧B→A
A5) ├A∧B→B
A6) ├A→(B→A∧B)
A7) ├A→A∨B
A8) ├B→A∨B
A9) ├(A→C)→((B→C)→(A∨B→C)
A10)├A∨(A→B)
A11)├﹁(A∧B) «(﹁A∨﹁B)
A12)├﹁(A∨B) «(﹁A∧﹁B)
从逻辑哲学看DLA的特征
DLA是相干逻辑RC(Ⅱ)、模糊逻辑FL及刻画辩证法独特性质的D系统三者的交缘系统：其每一公式必须同时满足三种语义。
1.因为DLA具有相干性，所以它不允许前件蕴涵不相干的后件，却允许在应用公理中引进作为语句常项的特定的矛盾语句(├A0,├﹁A0)，（├﹁（A0∧﹁A0),和（├A0«﹁A0)，因而DLA系统不会平庸化，而变得无意义。从语用角度说，将具有“辩证矛盾”意味的语句，作为“语句常项”来处理，是合乎表达辩证逻辑的需要的。
2.(D1)公理├A∧﹁A→(A«﹁A)乃是经典逻辑A∧B→(A«B)公式的特例。在辩证逻辑形式系统DLA中，它体现了“矛盾之互相依存、互为前提”这种辩证性质。
3.(D2)公理是对立统一律的一种模拟表达，它是说，统一物(A)分解为二(B，﹁B)且只有当所分二者处于对立(即B=1且﹁B=0，或者B=0且﹁B=1)时，才使统一物自己(A)转化为其反面(﹁A)。反过来说，如果B，﹁B不处于对立，此规律就失效。
请看下面的失效实例(采用连续统逻辑中的赋值表示法)：
(1) ﹁(B∧﹁B)→((A→B)→((A→﹁B)→﹁A))， φ(0.5 ,0.5, 0.6 ,0.5, 0.6, 0.5 ,0.6)=0.4＜1;
(2) (A→B)→((A→﹁B)→﹁A), φ(0.3, 0.6, 0.3, 0.6, 0.3)=0.7＜1;
(3) A→B,A→﹁B├﹁A, φ(0.3, 0.6 ,0.3, 0.6, 0.3)有1，1├0.7＜1;
其中(1)中B=0.5, ﹁B=0.5；(2),(3) B=0.6, ﹁B=0.4。这说明：若A中的内部矛盾未达到对立时，A 就不会转化为非A。因此，我们认为在［0，1］连续逻辑中描述对立统一规律是恰到好处的 。
4.公理(D3)是刻画从量变到质变的规律的。它是说A内之量变过程B1,…,Bj,…,Bn中，当Bn与前面任一个Bj有对立性质出现时(即Bn «﹁Bj，因而﹁(Bj∧Bn)= ﹁(Bj∧﹁Bj)=1时)，A也引起质变成为﹁A 。
这里有三点需要说明：
(1) ﹁(Bj∧﹁Bj)意即“Bj与﹁Bj处于对立”；
(2) 其次，量变过程的描述(A→B1∧…∧Bj∧…∧Bn)→((Bn«Bj)→﹁A)，也可以改写成((A→B1)→((A→B2)→…→(A→Bn)→((Bn«Bj)→﹁A)))；
(3) B1,…,Bj…,Bn的量变过程，未必限定于直线上升方式，而可以有起伏及各种形式。
毛泽东的《矛盾论》认为，对立统一规律本源于矛盾，“差异”也被看矛盾的一种特定形式。这种由差异所表征的只是萌芽状态的矛盾，在未发展到对立程度时，一般称为量变。只有发展到对立(Bj=1且﹁Bj=0,或者Bj =0且﹁Bj=1，而且﹁(Bj∧﹁Bj )=1)之时才能使整体A转化为﹁A。
通过以上分析不难看出，连续统逻辑是刻画从量变到质变的转换的辩证过程的十分合适的概念工具。
5.(D4) (D5)这两个公理都是关于“否定之否定”的。其中(D4)所刻画的是，A之发展将成为“否定之否定”。
6.(D5)是进一步说，A的“否定之否定”是原先的A再附加新性质。所谓“新性质”是指正题、反题两方面性质的辩证综合与超越(即A∨﹁(A∨﹁A))。这里第一个联词用析取有二层意义：它可以 是A∪﹁(A∨﹁A)也可以是A∪0=A，当等于A时，就以“周而复始”(﹁﹁A→A)作为特例罢了，但后者并不普遍有效。又由﹁﹁A→A∨﹁(A∨﹁A)可推得﹁﹁A→A∨(﹁A ∧﹁﹁A)，当A∪(﹁A ∧﹁﹁A)成立时，它就成为正题(A)，反题(﹁A)之综合，成为超越于A与﹁A的新东西﹁﹁A的另一种写照。
7.(D7)说明，逆否律不再普遍有效的，它只当B与﹁B处于对立时才有效；然而，与之对应的逆否规则(D6)却仍然普遍有效!一般地说，这也是建构非经典逻辑的策略和技巧之一：虽然强的公理（某某“律”）不再成立，然而，退让一步，稍弱的规则（某某规则）却可以依然成立。
8.在DLA中，﹁(A∧﹁A),﹁﹁(A∨﹁A),A∨﹁A(按照形式逻辑的术语，可称为不矛盾律、不否认排中律、排中律)三者均并非普遍有效。因为﹁(A∧﹁A),﹁﹁(A∨﹁A),A∨﹁A，其赋值φ(0.5 0.5)=0.5＜1, 则上述 三个公式，用［0，1］中的数值作任意代入时不恒真，这正是体现出［0,1］连续统中：
(1) ﹁(A∧﹁A)不永真，表明“A与﹁A不是永远处于对立”；
(2) A∨﹁A不永真，表明“A与﹁A未必非此即彼，而可以处于中介或过渡即‘［0,1］—（０，1)’之中”(见上文具体赋值)；
(3) ﹁﹁(A∨﹁A) 不永真，表明“这‘不否认排中律’亦非普遍有效”。
DLA表明，辩证法只有通过形式化而逻辑地表达出来，其性质才能明朗起来。例如，﹁(A∧﹁A),﹁﹁(A∨﹁A),A∨﹁A等三个公式都不再永真表明，中介或过渡是离散序列与连续序列的一种本性。辩证逻辑只有如实反映其现实原型，思维与推理的正确性才能得到保证。正如数学只有如实反映连续统上的计算法则(如创造微积分)，计算的正确性方能得到保证。辩证逻辑也应该是这样。
辩证逻辑形式化范例给我们的启示是：辩证法只有通过形式化而逻辑地表达出来，其性质才能明朗起来；辩证逻辑只有如实反映其现实原型（辩证法），思维与推理的正确性才能得到保证。从次协调逻辑视角看，对平庸矛盾（A∧﹁*A）与不平庸矛盾（A∧﹁A）作出明确区分，是实现辩证逻辑形式化的关键。任何命题与其经典否定合取（A∧﹁*A）后构成“平庸矛盾”（其中﹁*A=df﹁A&A0）。由于一个形式系统如果包含着平庸矛盾A∧﹁*A（它受矛盾律的约束），即会使得任何公式都变成定理，那么就变得没有任何价值可言，这样也就不可能恰当再现辩证法的原型。相反，不平庸矛盾A∧﹁A则是在句法上可允许的，由此它可以恰当再现辩证法的原型。毫无疑问，追求恰当性是辩证逻辑乃至一切非经典逻辑发展的内在动力。辩证逻辑形式化的研究方向对于开拓逻辑学的新领域，对于推动逻辑学科向纵深发展，具有重要意义。
最后需要说明的是，我们并不认为，辩证逻辑形式化研究只有独一无二的表现形式，相反它应当是多元化的。笔者和陈自立主张立足于模糊-相干-次协调性的数理辩证逻辑，那只能算是一家之言。近年来，人工智能专家何华灿教授倡导“泛逻辑”研究路线，他从信息科学和智能科学的特殊需要出发，发起了用“柔性逻辑”的思想逐步建构面向现实世界的数理辩证逻辑的号召，得到哲学学者们的积极响应；辩证逻辑形式化强纲领的倡导者赵总宽教授新近提出形式化易经逻辑的研究路线，他建立了易卦辩证逻辑公理系统；罗翊重研究员提出的非-反逻辑系统刻画了中国古代阴阳辩证法的语句演算；柳昌清研究员重申他的“渗透逻辑”；李曙华教授特别关注周易象数逻辑；张金成提出了刻画辩证矛盾的S系统（他刻画次协调逻辑中“不平庸矛盾”的形式特征，力图比原先da Costa的方式更为清晰直观）；孟凯韬教授建立了刻画阴阳五行辩证法的哲理数学（及其中医学应用）；胥良从数学角度进行非反演算研究；张建军教授从总体上归纳了当代辩证逻辑研究的六大进路，如此等等。由此展示了“辩证逻辑形式化”研究的一个波澜壮阔的场面。
A Formalization of Dialectical Logic from the viewpoint of Philosophy of Logic
Qi-quan Gui
（The School of Philosophy, Wuhan University, Wuhan, 430072）
Abstract: From the viewpoint of philosophy of logic, dialectical logic should be positioned as a unique non-classical logic with philosophical thoughts, and so it can be classified into logic, while dialectics as the prototype of dialectical logic may be classified into philosophy. The general goal of formal systems of dialectical logic is to describe and represent more and more adequately the essential characteristics inherited in the prototypes of dialectics. Our beloved dialectical logic has some formal properties of paraconsistent logic, relevant logic and fuzzy logic. However, studies on the formalization of dialectical logic could have plural approaches.
Key words: Formalisation of Dialectical Logic · Philosophy of Logic · Paraconsistent Logic · Relevant Logic · Fuzzy Logic
（原载于《非经典逻辑系统发生学研究》，南开大学出版社2011年7月版）
