2011年9月科学出版社即将出版何华灿，何智涛的最新专著《统一无穷理论》，该书反对实无穷的无限分层，提出了只有一个实无穷大¥和一个实无穷小d的新主张，d=1/¥，可大大地简化无穷理论和数学论证。
一、引言
1，希尔伯特说：“无穷既是人类最伟大的朋友，也是人类心灵宁静的最大敌人。”从数学产生之日起，无穷就如影相随。作为数学发端的自然数1, 2, 3, ×××, n, n+1, ×××本身，就以它朴素的面貌展示了向无穷攀登的态势。可是数学家对无穷却有两种完全不同的认识，那就是亚里士多德区分的潜无穷和实无穷，他明确支持潜无穷，反对实无穷。由于亚里士多德的历史地位，这样的局面持续了2000多年。目前在数学中占统治地位的无穷理论是130多年前由德国数学家康托尔创立的层次无穷理论，他认为无穷大是真实的存在而不是潜在的存在，但是无穷大有无限多的层次，À0，À1，À2，×××，À¥。如自然数集的势是最小的无穷大À0，单位区间实数集的势是无穷大À1，实变函数集的势是无穷大À2，×××，并有Ài+1= 。
古希腊数学家欧几里德曾经提出过一个著名的公理“整体大于部分”，后来不断有人发现在无穷集合中有部分等于整体的情况，真是不可思议。整体是否一定大于部分？2000多年来，这个问题像一块巨石，一直把实无穷档在数学门外。康托尔是在历史上勇敢地迈出这一步的第一人，他抛弃了各种历史偏见和传统思想，根据他自己提出的两个基本前提：
① 无穷集的基本特征是能和自己的真子集等势，这是无穷集和有穷集的本质差别；
② 实无穷是一个数，有自己的特殊性质，不应该把有穷数的性质强加在无穷上。
他义无反顾地以自己独特的方法建立了层次无穷理论，他定义了集合的概念、关系、运算和性质。他用一一对应方法比较无穷集的大小，定义自然数集是最小的无穷集合，叫可数集À0，并证明正奇数集、整数集、奇数集、偶数集、有理数集、代数数集都是可数集À0。即对任意大于1的有穷自然数nÎN, 有1+À0=n+À0=n´À0=(À0)n=À0成立，已经把无穷大概念的本质基本揭示出来。他还证明单位区间实数集和单位正方形中的实数集等势。这些都是康托尔的历史贡献，康托尔的最后失误也是由于他违背了上述两条基本原则，走向了其反面：
① 他认为实数集大于自己的真子集自然数集；
② 他把有穷数的性质10n>n强加在无穷上，认为 >À0，这是促使无穷大不断升级的根源，他还反对无穷小的存在。
2，作者何华灿是毕生从事计算机科学技术和人工智能研究的信息科学工作者，晚年对信息科学的基础理论泛逻辑学产生了浓厚的兴趣，通过逻辑学进而发现了数学中的层次无穷概念和理论存在严重问题：本来是大而无外的实无穷大怎么能无限地升级？本来是小而无内的实无穷小为什么仍然在无限地变小？整个信息科学已经被这种畸形的实无穷理论压缩到了一个狭小的零级无穷空间内无法伸展，让人感觉窒息和无助。再仰望那层层叠叠的高级无穷空间，它是那样的漆黑一片，让人感觉恐惧和渺小。于是作者产生了统一无穷概念和理论的强烈愿望，希望还信息科学一片蓝天。经过数年跨学科的潜心研究，有了这本探索无穷问题的专著。
3，本书提出了一个观察无穷问题的三维视角：数的数值维，数的编码高度维和无穷的可达性维（见图1）。
数学离不开进位制编码，如果没有进位制编码，数学将不复存在。根据进位制编码原理，任何数都同时有编码位和编码值两个相对独立的属性，忽略编码位的存在，数就成了几何点，考虑编码位的存在，数就成了编码符号串。对有穷数来说，一个数值点严格对应一个编码符号串，没有遗漏或者重复。但在与无穷编码有关的概念中，这个一一对应关系就变得暧昧起来，无论是人类的智慧或者语言，都显得不够用。如有穷位计数器只能给有穷个计数脉冲编号，要给¥个计数脉冲编号，必须用¥位计数器，而且第¥个脉冲的编号正好是10¥，等等。
图1 观察自然数集中无穷大概念的三维视野
如果不厘清这些错综复杂的关系，建立包含趋近无穷自然数的新数谱，解决不了无穷问题。根据对实无穷位理想计数器的观察，传统的自然数谱是不完整的，它认为在自然数集中，除了有穷数就是无穷大，除了无穷大就是有穷数，这是纯粹的一维自然数观，具有片面性。在理想计数器模型中，潜无穷过程只能遍历所有有穷自然数集中的偏小部分，从0，1开始，可以无限制地增大，但是其中偏大部分的有穷自然数永远处在未生成的状态下，所以这个过程不能超过其理论上的增长内极限v。而实无穷过程可遍历完整的自然数集，包括所有的有穷自然数（其中包括0和1）和所有的超穷自然数（其中包括趋近无穷数和¥）。作者认为在讨论所有排序类问题时，进入的是一个实无穷过程，在这个过程中¥是一个可达的极限目标。而在讨论所有内蕴类问题时，进入的是一个潜无穷过程，在这个过程中¥只是一个可无限地接近，永远不可到达的潜在极限目标。这就是说，在两种趋近无穷的过程中，被趋近的极限目标只有一个，而趋近极限目标的方式却完全不同：一个可达，一个不可达。
这个思想为全面认识自然数及其增长极限¥打开了一扇新的窗口，发现了认识自然数中无穷大概念的第三个维度—可达性。在扩大了的三维视野中，自然数不仅有数值的不同和编码长度的不同，还有可达性的不同。只有通过这三个维度，才能全面认识自然数，完整地把握¥的概念和性质。通过这个三维视角，在承认潜无穷过程和实无穷过程都同时存在的大前提下，作者发现了完整的自然数数谱和完整的单位区间实数谱。将这两个数谱合并，就可以得到一个完整的正实数谱。利用完整的正实数谱，作者建立了科学的无穷概念，正面定义了无穷大和无穷小，提出了数的理想模型和规范模的概念，使许多捉摸不定的概念如无理数和超越数有了清晰完整的外在形象。这些就是《统一无穷观》奉献给读者的主要思想。
4，由于整个现实世界中的任何事物都有发生、发展和消亡的过程，它们都是有穷的，都可以成为有穷数及其运算规则的原型。而所有的人包括职业的大数学家和一般读者，都没有真正见过无穷大和无穷小是什么样子，历史上关于它们的定义和性质的讨论没有正面原型可以参考，只能通过自然数列0, 1, 2, 3, ×××n, n+1, ×××的发展趋势进行揣摩，众说纷纭，莫哀一是。所以本书不是根据几个基本概念和基本公理进行的纯逻辑推演，更不是完全抽象的纯公理化论证。而是用大量的篇幅引导读者去漫游理想的无穷世界，首先增加对无穷过程的感性认识。这个理想的无穷世界是由作者用信息科学的原理和方法专门设计的各种无穷位理想计数器人为地创造出来的，它能够模拟一个潜无穷过程或者实无穷过程，具体生成所有的有穷自然数、趋近无穷自然数和无穷大，也能够生成所有的有穷小数、趋近无穷小数和无穷小。在有了对各种无穷过程的感性认识之后，进一步定义无穷概念和研究它的基本性质就是一件比较容易做到的事情了，其是非曲直能够一目了然，就像理解为什么2+3=5那样浅显和自然。
二、无穷概念的统一
1，康托尔已经证明无穷大À0有5个基本性质：对于任何大于1的有穷自然数nÎN, ① 1+À0=À0；② n+À0=À0；③ n´À0=À0；④ (À0)n=À0；⑤ 2À0>À0。作者提出的统一无穷大¥继承了他的前4个性质，即对于任何大于1的有穷自然数nÎN, ① 1+¥=¥；② n+¥=¥；③ n´¥=¥；④ ¥n=¥。只需要证明第⑤性质 2¥=¥成立，就可以停止¥的不断升级，实现无穷大概念的统一。
作者用多种方法证明了2¥=¥的成立，最主要的是计数器的镜像变换模型。设有一个特殊的实无穷位二进制计数器C（见图2），在它第一位的右（下）边增加了一个小数点位置标示符“.0”，它不参与计数器的计数过程。
图2 计数器的镜像变换模型
站在C前面的观察者A看到的是计数器的正常计数过程，他能读到全部¥位的自然数编码（称为原始编码或原像），其中的×××´´´´.0表示本数是纯粹的整数；站在C后面的观察者B恰巧相反，他看到的是正常计数器计数过程的镜像，读到的是[0, 1]区间实数的全部编码（称为镜像编码或镜像），其中的0.´´´´×××表示本数是纯粹的小数。从编码的角度看，上述原像和镜像两种¥位编码是一一对应的，它们的个数一定相等。这就是说，在图2中发生的镜像变换只会改变各个编码所代表的数值大小，不会改变编码的数目多少。例如
开始状态： A观察到： 0.0 B观察到： 0.0
1位计数: A观察到： 0.0, 1.0 B观察到： 0.0, 0.1
2位计数: A观察到： 00.0 01.0 10.0 11.0
B观察到： 0.00 0.10 0.01 0.11
3位计数: A观察到： 000.0 001.0 010.0 011.0 100.0 101.0 110.0 111.0
B观察到： 0.000 0.100 0.010 0.110 0.001 0.101 0.011 0.111
×××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××
这种在同一个计数过程中，出现原像和镜像两种不同观察结果的现象，可一直延伸到整个无穷位的计数过程中，不会有任何改变。特别可贵的是，如果在理想计数器中发生的是一个潜无穷过程，限制其中的¥位不可达，则观察者A看到的自然数生成过程是一个潜无穷倍增过程，永远不能到达终点，所以只能生成有穷自然数的开放序列；观察者B看到的单位区间实数生成过程也是一个不可达的潜无穷对分过程，永远不能到达终点，所以只能生成单位区间内的有理数开放序列。反之，如果在理想计数器中发生的是一个实无穷过程，允许¥位可达，则观察者A看到的自然数集生成过程是一个可达的无穷倍增过程，有终点出现，能够生成完整的自然数集合，其中包括超穷自然数集合；观察者B看到的单位区间实数集生成过程也是一个可达的无穷对分过程，有终点出现，能够生成完整的单位区间实数集合，其中包括无理数集合。所以这个镜像变换模型还可以有效地避免两种无穷观的相互干扰和争斗，保证双方站在同样一个无穷观的立场上讨论问题。
在图3中，子图(a)是计数到2位的情况，它有4个编码，分别代表00.0, 01.0, 10.0, 11.0和0.00, 0.10, 0.01, 0.11。子图(b)是计数到3位的情况，分别代表000.0, 001.0, 010.0, 011.0, 100.0, 101.0, 110.0, 111.0和0.000, 0.100, 0.010, 0.110, 0.001, 0.101, 0.011, 0.111。子图(c)是计数到¥位的情况，完整的自然数编码和单位区间实数编码全部出现了。从中可以总结出一些可达于¥而不会改变的规律：
① A编码x¥×××xi×××x4x3x2x1.0代表的是自然数，其极限是¥；B编码0.x1x2x3x4×××xi ×××x¥代表的是[0, 1]区间的实数，其极限是1.0。
② 有一个 A编码x¥×××xi×××x4x3x2x1.0，就一定存在一个B编码0.x1x2x3x4×××xi ×××x¥，反之亦然。两种编码是一一对应的，它们一样多。
图3 无穷位计数器生成的编码及其镜像
2，根据无穷位理想计数器的编码原理，完整的自然数谱SN结构如下（见图4）：
SN：[0, [1及有穷自然数], [趋近无穷自然数], ¥]
在完整的自然数谱SN中，数谱的起点是0，代表无，0的编码特征是所有位都是符号0。1是生成元，代表有的开始，是最小的有穷自然数；v是有穷自然数的增长内极限，代表计数器的现实主义计数阶段已经过去，有穷自然数的生成过程理论上到此结束。1和其它所有有穷自然数的编码特征是这些数只需要用有穷位编码来表示，即在无穷编码体系中的超穷位编码全部都是0。v的后继是w，它是最小的超穷自然数，也就是最小的趋近无穷自然数，代表计数器已经进入超现实主义计数阶段，第一个超穷自然数出现了；µ是最大的趋近无穷自然数，也就是最大的非无穷自然数，代表非无穷自然数的生成过程理论上到此结束。所有趋近无穷自然数的编码特征是这些数都需要用超穷位的编码来表示，即在编码的超穷位中出现了非0的符号，其中µ的编码最大，由无穷多个9组成。数谱的终点是¥，它是最大的超穷自然数，代表最大的有，即整个自然数计数过程的最后终结。其编码特征是超出了实无穷位理想计数器的编码范围，发生了进位溢出现象，用(9×××9)+表示。在数谱SN中，除0外所有的自然数n都有前趋n-，除¥外所有的自然数n都有后继n+。
在完整的自然数谱SN中，存在三对极限数，它们是左极限对，中极限对和右极限对。每对极限数中包含a、b两个极限数，称为下、上极限数或者内、外极限数，它们都具有某种极限编码自守性。如左下极限数La是自然数0，它满足0=100-1；左上极限Lb是自然数1，它满足1=100；中下极限Ma是有穷自然数的增长内极限v，它满足v=10v-1；中上极限Mb是最小的超穷自然数w，它满足w=10v；右下极限Ra是最大的趋近无穷自然数或者最大的非无穷自然数µ，它满足µ=10¥-1；右上极限Rb是¥，它是整个自然数的增长外极限，满足¥=10¥。
图4 完整自然数谱中的极限对和分区
3，由于编码位和编码数值的共同影响，单位区间实数被分割成为几个不同的部分（见图5）：
图5 完整的单位区间实数谱中的极限对和分区
最小的单位区间实数是0.0=([0.0×××0]0×××0)和d=([0.0×××0]0×××01)；其次是趋近无穷小数，它对应于0-全0代码区和1-纯趋近无穷小数区的组合，是完全超现实的数；常用的有穷小数对应于3-纯有穷小数区，它是有穷位编码，是完全现实的数；大于L的单位区间实数由于2-趋近无穷小数区和3-纯有穷小数区组合而成，带有现实和超现实的混合特性。不注意这种混合特性，无法获得完整的单位区间实数集合。
4，直接将完整的单位区间实数谱和完整的自然数谱合并，就可以得到完整的正实数谱，如图6所示。
5，由于2¥=¥的成立，¥停止了分层，成为一个统一的数，所以可以直接定义无穷小d=1/¥。并证明无穷小具有性质：对于任意大于1的nÎN，d/2=d/n=d/2n=dn=(1/n)1/d=d。d和¥之间的关系是：d/¥=d¥=d。
图6 完整的正实数谱中的极限对和分区
6，通过完整的正实数谱可清楚看到数学无穷观的演变过程（图7），表明数学论证的“全域”一直在不断地扩大。
图7 数学家们的信念一直在不断地扩大
尽管不同时代的数学家们都在用同一个形式逻辑工具建立全域上的“普适真理”，但是由于他们对“全域”的理解有局性，却得到了不同的“相对真理”：数学形成期的数学家普遍相信所有的数都有穷，任何数学论证过程必然在有限步内结束，所以他们构造的数学是有穷数学。不可公度量发现后，数学家的视野扩大到潜无穷，普遍相信有穷数可无限地增大或减小，但无穷大和无穷小本身不可达，即有穷数不可超越。在这个信念下建立的数学是常量数学，它不涉及实无穷大和实无穷小问题。经典实无穷观虽然主张无穷大和无穷小都可达，有穷数可以超越，但它在常量数学中并没有用武之地。对变量和运动的研究导致了微积分的出现，数学发展进入变量数学时期，实无穷大和实无穷小登上了数学舞台。为了解释清楚在超越有穷数后到底发现了什么，在经典实无穷观基础上分别发展出了变量实无穷观、层次实无穷观、非标准实无穷观和双相无穷观，这些无穷主张都企图从不同的角度理解超越有穷数后出现的趋近无穷自然数和趋近无穷小数到底是什么，但都没有能够说完全，所以只能准确地描述变量数学中的部分性质。现在作者根据完整的正实数谱提出统一无穷概念，可以最大限度地包容历史上各种无穷主张的合理部分，扬弃的只是它们的局限性，因而能够包容历史上所有的数学理论，并把它们放到恰当的地方，从而建立完整的变量数学理论体系。有了这样的全局视野和完整的变量数学理论体系，就可以为演化（复杂）数学的形成和发展创造良好的条件。当然，统一无穷理论仍然是“相对真理”而非“普适真理”，它将随着时代的发展而继续向前发展。
三、理想的数模型和规范模
1，研究无穷概念离不开无穷集合，最典型的无穷集合是数集。数集有自然数集，整数集，有理数集，实数集，复数集，狭义数集和广义数集之分。其中，实数可包容自然数、整数、小数、有理数和代数数、无理数和超越数，是最大的一维人工数系；复数，狭义数和广义数是多维数系，而最简单最基本的数集是自然数集。作者在自然数集理想模型的基础上提出数的理想模型，通过这个模型可以一般性地考察各种背景下的无穷集合，最后完成所有无穷集合全都等势的证明。所谓由自然数生成各种人工数，就是对自然数的编码符号串进行重新解释，从而得到各种人工数的编码符号串：如在自然数编码符号串之外增加小数点的位置标志，以便把数分成整数部分和小数部分；把自然数编码符号串内的某些符号变换成辅助符号，常见的有表示正负数的+/-符号位（+号常常省略）、表示复数中的虚部和实部的i/r标识位（r号常常省略）、表示数组和行列式中不同分量的标志符ai；等等。而无穷位编码经过这些变换以后仍然是无穷位编码，所以，各种人工数都是自然数编码符号串的某种变形，自然数是数的基本形式。因此，数的理想模型包括两部分：其核心部分是标准实无穷位理想计数器，它对应于完整的自然数集。外围部分是各种译码器，它负责把自然数的编码符号串翻译成某个人工数的编码符号串。
2，自然数的理想模型是能生成完整自然数集编码的完全编码算法CEA，它由完全计数器CC和原始存储器PM两部分组成。CC是实¥位二进制计数器，其功能是按照二进制进行连续地计数，生成所有实¥位二进制原始编码，极限状态是2¥=¥。PM的功能是顺序存放CC生成的所有原始编码，包括0和2¥，它共有2¥Å1个存储单元（见图8）。
图8 PM的存储状态图
3，任何事物都有界壳或者周界，不仅所有的有形物体都有明显的边界，以便把自己和环境有效地分开，而且抽象的概念也有边界，没有界壳的概念不是一个科学概念。自然数的概念周界如图9所示，左子图代表完全计数器CC，其中a1和a¥就是完全计数器的界壳。右子图是PM的存储状态图，其中a1、a¥、(0×××0[0×××0])=0和(1×××1 [1×××1])+=¥一起从四个周边共同组成了自然数编码集的界壳。自然数编码集给出的界壳概念是一个完整的二维界壳，而自然数点集给出的界壳概念是二维界壳在一维点集上的投影。所以，自然数的点集界壳只能在部分几何问题中使用，如果在数学中普遍使用，就会造成许多概念混乱。
图9 自然数编码集的概念界壳
4，人工数的通用理想模型是一个完全译码算法CDA，它由无穷位的完全观察窗CW, 完全译码器CD和现实存储器RM三部分组成，如图10所示。它可从第1位工作到¥位，具体过程是：
n位完全译码算法CDA(n)由n位完全观察窗CW(n)，n位完全译码器CD(n)和现实存储器RM三部分组成。CW(n)的功能是按照某种二进制计数规律阅读PM中所有的n位二进制自然数编码，在窗口中可显现从n位全0即[0×××0]n开始，到n位全1即[1×××1]n结束的所有n位二进制自然数编码。无穷位完全观察窗用CW表示，它能阅读PM中所有的无穷位二进制自然数编码（包括¥）。CD(n)的功能是对CW(n)中的所有n位二进制自然数编码进行某种规则的译码，如规定小数点在符号串上的位置，对符号串中每位的0, 1符号进行解释或变换等。无穷位完全译码器用CD表示，它能把无穷位完全观察窗CW中的所有无穷位二进制自然数编码按照规则翻译成某种人工数编码。RM的功能是存放CD译码的结果，它与PM的存储单元数目和地址编号完全相同, 但存储的具体形式不同, 与PM中的自然数编码不同，在RM中的人工数可以用任意的符号表示, 不一定是二进制编码。
图10 完全译码算法CDA的三个组成部分
不同人工数的理想模型由不同的完全观察窗CW和不同的完全译码器CD相互配合生成，相应的完全译码算法CDA也不相同。要研究自然数集与其他各种人工数集及其它无穷集合的关系，可以通过设计不同的完全译码算法CDA来完成。其中特别需要掌握原始存储器PM和现实存储器RM的异同点：PM和RM的存储地址数目和编号完全相同，但存储机制各不相同：PM是格式存储器，它的每个存储单元都有无穷位，每位只能写一个0或1，不能不写，也不能多写, 所以只能存储原始形态的自然数和¥（在d¥单元）；RM是自由存储器，它的每个存储单元都可以存储由完全译码器CD翻译出来的任何符号，没有限制。下面详细举几个实例进行具体说明。
5，图11表明在无穷数集中，是一套编码，多种解释，其中*表示小数点所在的位置。由于自然数集和各种无穷数集之间可以相互翻译，而自然数集十分简单直观，所以可以把自然数集作为各种无穷数集的数学模型使用。方法是首先用特定的完全译码算法把一个无穷数集和其中的原始问题一同翻译成自然数集和其中的同构问题，对它进行求解，得出自然数集中的同构结果，然后把同构结果反向翻译成这个无穷数集中的原始形式，形成最后结果。
图11 一套编码多种解释，其中*表示小数点的位置
除了数集之外，任何事物都可以组成无穷集合，它们一般是无次序的。但非数的无穷集只有两类：一类是由离散分布的元素组成，如宇宙中所有量子组成的集合；另一类是由连续分布的元素组成，如宇宙中的场和时间等。可以人为的把元素按照某种规则顺序编号，使离散型的无穷集转化成正整数集，使连续型的无穷集转化成正实数集，而这两种数集都可转化成自然数集。可见一般的无穷集都与自然数集等势，在屏蔽掉这种附加的次序关系后，自然数集也可以作为一般无穷集合的数学模型使用。
6，完整的二进制自然数谱SN就是自然数集N的规范模N-SM，简称为自然模，它是基本模，如图12所示。利用自然模可以研究自然数的各种数论性质，如自然数的奇偶性：凡是最低a1位是0的自然数都是偶数，凡是最低a1位是1的自然数都是奇数。注意其中最高位a¥也是1的奇数&1, &3, &5, &7, ×××等，由于它们被2以上的整数相乘或者自乘都会引起进位溢出，所以称为超越自然数（编码），它们与数的超越数性有密切关系。
完整的二进制单位区间实数谱SR1就是单位区间实数集R1的规范模R1-SM，简称为单位模，如图13所示，利用它可以研究单位区间实数的各种基本性质。有时还需要单独研究某个无理数x的性质，由于它有无穷位，用通常的方法无法进行。如果把它放在恰好包容x的最大规范模中进行研究，无穷位就固定不变了。所谓恰好包容一个无理数x的最大规范模是这样一个二进制区间实数谱[0, 2n]，其中2n-1£x且2n³x，记为x-SM，简称为x-模。在x-SM中无理数x有确定的实无穷位，可以横向比较它与相邻实数的逐位编码情况。如p-SM是在有限区间[0, 22]实数谱基础上形成的，p就包含在其中，其编码的最高位肯定是1。由数谱的性质可知，在X规范模中包含了X数集中所有的数，它们都具有相同的无穷位，并且从小到大连续地分布，可以横向比较数集中不同数的逐位编码情况。
图12 自然模N-SM是基本模
图13 规范模R1-SM
归纳起来说，无论是X-SM模还是x-SM模都具有以下基本性质：
性质1 规范模是完整的。它包含了本数集中的全部数，一个不多，一个不少。
性质2 规范模是良序的。其中的全部数都按照计数器的生成顺序从小到大排列。
性质3 规范模是连续的。其中的全部数都按照计数器生成元Q的标准间隙连续的分布，没有更大或者更小的间隙存在。
性质4 规范模是等高编码的。其中的全部数都具有完全相同的编码位数（包括无效位），一个不多，一个不少。
性质5 规范模是封闭的。在规范模以外证明的性质，不能引入规范模内使用。
性质6 规范模是完备的。在规范模X-SM上证明的性质，在整个数集X上有效。
7，规范模有许多重要应用，如利用正实数规范模R-SM可以证明有理数集和无理数集等势。从图14可以看出，由于所有a-¥位是1的实数x都终止在无穷小d=(0.0×××01)，而d是不可以再进一步分割的数，所以x不能被任何整数n除尽，总有余数d/n=d存在，x必然是无理数。相反，由于所有a-¥位是0的实数x都至少可以被整数2除尽，x/2没有余数存在。尽管这里的所有a-¥位是0的实数x仍然有小数部分而不是整数，但是一定存在一个正整数k，使得k´x=m，2k=n，从而得到形如m/n的数，其中m，n都是整数且n¹0。所以x必然是有理数。由于a-¥位中的0, 1是交替分布的，就像自然数中奇偶数的分布规律一样，所以有理数集和无理数集一样多，它们等势。
又如通过引入整代数变换概念：对一个实数x进行各种基于正整数n的代数运算，如x+n, x´n, xn及其任意组合，所得的结果x' 称为实数x的整数代数变换。可以判断一个无理数的超越性：如果一个无理数x的整数代数变换x'是标准模R-SM中的某个超越数&i，则x是超越数。因为无理数x的整数代数变换x'可以无限制地增大，必然会出现a¥=1的情况，如果x'是标准模中的某个&i，则这时的a-¥=1，说明x不可能被某个正整数除尽，也不是某个正整数的整次方根，即x不可能是某个整系数代数方程的根，是超越数。显然，超越数集是可数集。
图14 正实数的规范模R-SM是标准模
四、数学的未来
1，对统一无穷概念和理论的论述到此暂时结束了，作者感到眼前一亮，仿佛来到了一片充满希望的原野，有无数的机遇和挑战在等待着耕耘者的到来。作者自认为有一个思想理念已经基本交待清楚：由于自然数具有两重性（内蕴性和排序性），所以潜无穷过程和实无穷过程是数学中不可或缺的两个数学对象；传统的自然数集概念存在严重的缺陷，它是由潜无穷过程生成的开放的有穷自然数序列，不是无穷集合；只有完整的自然数集合才是真正的无穷集合，它只能由一个实无穷过程生成；根据完整的自然数集可以证明无穷大和无穷小不仅同时存在，而且都只能有一个。这就是统一无穷观的基本思想，现代数学应该放弃具有明显局限性和错误的层次无穷观，按照统一无穷观来重新组织，只有这样才能最后完成由变量数学向复杂性（或演化）数学过渡的历史史命。
2，当然，作者感觉这句话并没有说得十分圆满，也没有能力依靠一家之言把它说圆满。因为围绕统一无穷观来重新审查并改写现代数学，这本身就需要一个系统完整的统一无穷理论，而系统完整的统一无穷理论又只能在重建现代数学理论体系的过程中去逐步形成和完善，这是一个需要整个数学界广泛认同，并且积极参与的群体行为。作者目前能够做到的事情就是首先把自己对统一无穷概念和理论的初浅感悟向学术界公开，争取得到大家特别是数学家们的原则性认同（作者相信目前书中所写的内容肯定还有许多细节不尽如人意，但是大方向没有错），然后一起来共同努力在应用中去修改和完善它。
3，人类正面临一次新的发展机遇，首先是现代数学已可以摆脱传统的自然数集概念和层次无穷理论的困惑，把数学从2500多年来潜无穷观和实无穷观完全对立的僵局中解脱出来，可以按照各种数学对象的自然属性来重新构建现代数学理论体系。其次，现代数学中的大部分内容事实上都是针对有穷数概念和潜无穷过程制定的，只要把它们的适用范围从“普适的真理”位置上降下来，明确地局限在有穷数内和潜无穷过程中即可继续使用，不必推翻重来。需要重新研究证明的是发生在一个实无穷过程中各种超穷数的运算性质，包括极限数Ma、Mb、Ra和Rb的运算性质，这主要与数学分析和未来的复杂性（演化）数学有关。现在排除了潜无穷观对实无穷过程研究的干扰，要正确认识各种超穷数的运算性质已经没有思想上的任何障碍，剩下的只是一些技术性细节问题，只需要有大量的时间和精力投入即可。至于几何学和拓扑学中的无穷问题，他们一般都处理得比较好，没有太大的原则问题。数学理顺了，逻辑学和信息科学自然就顺了，整个科学理论体系也就顺了。数学和整个信息科学都即进入发展的快车道。
4，数学一向崇尚数理形式逻辑，这本身没有任何错误。但是，现代数学主要面向的是复杂系统的非线性演化过程，要正确而全面的认识这个过程，掌握它的运动规律，没有数理辩证逻辑的指引将会寸步难行。数理辩证逻辑在复杂性（演化）数学中的地位与微积分在变量数学中的地位非常相似：在变量数学中，没有微积分就无法真正理解和处理变量和运动过程；复杂性（演化）数学中，没有数理辩证逻辑就无法真正理解和处理复杂性和演化过程。数理辩证逻辑和数理形式逻辑将在未来的数学中长期共存，各司其职。
5，目前有许多事情等待着数学家们、逻辑学家们和信息科学家们去做，人类将迎来又一个创新的高峰期！
