在现实世界中，无论是个体或集合体还是类，其内部都存在着数不胜数的符合《易经》八大矛盾范畴之类集关系模式的具体模型。[1]如：
１．任一磁体(个体)可分为南极S、北极N和中间部分。而地球的南极和地球的北极则是两个相反的组成部分，即：
s(地球)∝ n(地球)．
上面，S和 N是用于描述个体 特征的谓词(函项词)，故S( )或 N( )是命题。在数理逻辑中通常用大写字母标示函项词，如F，G，H，…。而s和n是被个体词 限定(作定语)的主词(函数词)，故 s( )或 n( )作为一个词串之整体仍然是个体词。在数理逻辑中通常用小写字母标示函数词，如f，g，h，…。
2．小家庭(集合体)可分为父、母和子女三大部分。而比如张三的父亲和张三的母亲则分别是两个相反的个体，即：
父亲(张三)∝母亲(张三)．
3．动物的消化系统(集合体)可分为口腔、消化道和肛门三部分。
４．π介子(大类)分为带有一个正电荷的π＋类、不带电荷的πｏ类和带有一个负电荷的π－类；Σ超子(大类)分为带正电荷的Σ＋类、不带电荷的Σｏ类和带负电荷的Σ－类。
５．双闭区间［0,1］(集合体)可分为 0、(0,1)和 1三个部分。
６．实数(大类)可分为正数、零、负数三个类。若以此为基准来看空间几何学(大类)，则可将其分为相当于各区具有正曲率常数的黎氏几何学类(其三角形内角之和＞π)、相当于各区具有零曲率常数的欧氏几何学类(其三角形内角之和＝π)及相当于各区具有负曲率常数的罗氏几何学类(其三角形内角之和＜π)。其中，中项是“无曲率”的欧氏几何(＝π)，对项是“有曲率”的几何(黎氏几何与罗氏几何)，此前后两者的内涵是相反的，而黎氏几何(＞π)与罗氏几何(＜π)分别是纯阳项和纯阴项，它们两者的内涵也是相反的。
７．在模态命题(大类)中,也可划分为“必然真”命题、“偶然真”命题(即“既可能真也可能假”命题)和“必然假”命题三大类。其外延关系可用《易经》八大矛盾范畴的类集关系模式表示为图1。[2]
８．在假言命题(大类)中，可划分为相容性的充分条件假言命题和必要条件假言命题，其公共类为充要条件假言命题。各假言命题类的外延关系同样可用《易经》八大矛盾范畴的类集关系模式表示为图2。
(◇t∩◇f) (p↔q)
∩ ∩
◇t⊂ ⊃◇f p→q⊂ ⊃p←q
∪ ∪
□t∪□f p↚q∪p↛q
(□t∪□f) (p↮q)
图1：模态命题的类集关系模型 图2：假言命题的类集关系模型
凡对上面所述的关于个体或集合体或类的具体模型(模式的具体运用)，皆可用外延性的集合演算和辩证逻辑所特有的内涵性反衬演算(～)一一加以处理。只不过这时对于个体或集合体的外延演算可称之为组成演算，而对于类的外延演算，可称之为类集演算。
值得一提的是第８例。我们可通过对各类假言命题真值函数有序组间的析取(∨)、合取(∧)演算，发现一系列极有理论价值的逻辑哲学问题。各假言命题之“三极对立统一”的类集意义及其所对应的真值函数有序组，可一一表示如下：
(１)太阴项p→q:<1,0,1,1>，(２)纯阴项p↚q:<0,0,1,0>，
(３)太阳项p←q:<1,1,0,1>，(４)纯阳项p↛q:<0,1,0,0>，
(５)中和项p↔q:<1,0,0,1>，(６)对立项p↮q:<0,1,1,0>．
若对(１)所示的太阴项和(３)所示的太阳项进行并演算(∪)── 此时也同时对与其相应的真值函数有序组进行真值的析取演算(∨)，则得假言命题的太阴和太阳之并，即太极或太和( )，太极或太和的真值有序组就是<1,0,1,1>以及<1,1,0,1>之析取的结果，即<1,1,1,1>，其卦值是15(8＋4＋2＋1)。由于太极或太和的外延最大(全集)，故其真值有序组的卦值也最大。
若对(２)所示的纯阴项和(４)所示的纯阳项进行并演算(∪)── 此时对与其相应的真值函数有序组进行真值的析取演算(∨)，则得假言命题的纯阴和纯阳之并，即对立项p↮q。对立项的真值有序组就是<0,0,1,0>与<0,1,0,0>之析取的结果，即<0,1,1,0>，其卦值是6(0＋4＋2＋0)。
若对(１)所示的太阴项和(３)所示的太阳项进行交演算(∩)── 此时对与其相应的真值函数有序组进行真值的合取演算(∧)，则得假言命题的太阴和太阳之交，亦即中和项p↔q。中和项的真值有序组就是<1,0,1,1>与<1,1,0,1>之合取的结果，即<1,0,0,1>，其卦值是9(8＋0＋0＋1)。
由于p→q是太阴项，故它包含纯阴项p↚q。从有序4元组的卦值看，前者<1,0,1,1>的卦值(11)也大于后者<0,0,1,0>的卦值(2)；p→q还包含中项p↔q，前者的卦值(11)也大于后者的卦值(9)；将太阴项p→q的卦值(11)减纯阴项p↚q的卦值(2)，应得中项p↔q的卦值9，事实上也的确如此！
由于p←q是太阳项，故它包含纯阳项p↛q。从有序4元组的卦值看，前者<1,1,0,1>的卦值(13)也大于后者<0,1,0,0>的卦值(4)；p←q还包含中项p↔q，前者的卦值(13 )也大于后者的卦值(9)；将太阳项p←q的卦值(13)减纯阳项p↛q的卦值(4)，也应得中项p↔q的卦值9，事实上也的确如此！
若对纯阴项p↚q、中和项p↔q、纯阳项p↛q三者的真值有序组进行与其并演算(∪)相对应的析取演算(∨)、并对相应真值有序组的卦值进行对应的加法运算，则得：
<0,0,1,0>∨<1,0,0,1>∨<0,1,0,0>＝<1,1,1,1> (Ⅰ)
2＋9＋4＝15 (Ⅱ)
很明显，(Ⅰ)(Ⅱ)两式所得结论正是 即假言命题之太极或太和的真值有序组和相应的卦值！
据此，笔者还可对p↔q和p↮q之<1,0,0,1>与<0,1,1,0>实施析取演算、并对其相应卦值进行加法计算，则得：
<1,0,0,1>∨<0,1,1,0>＝<1,1,1,1> (Ⅲ)
9＋6＝15 (Ⅳ)
(Ⅲ)式说明，p↔q的真值有序组与p↮q的真值有序组的析取恰巧等于假言命题之太极或太和的真值有序组，即(Ⅰ)式的<1,1,1,1>。(Ⅳ)式说明，p↔q之真值有序组的卦值9与p↮q之真值有序组的卦值6之和也恰好等于太极或太和的全部卦值，即(Ⅱ)式的15。
依据上述分析，可将假言命题的类集关系模型(图2)同构地变换为假言命题的真值卦象关系模型(图3)和真值卦值关系模型(图4)：
<1,0,0,1> ９
↙ ↓ ↘ ∧ ∧ ∧
<1,0,1,1>→<1,1,1,1>←<1,1,0,1> １１＜１５＞１３
↖ ↑ ↗ ∨ ∨ ∨
<0,0,1,0>∨<0,1,0,0> ２＋４
(<0,1,1,0>) (６)
图3：假言命题真值卦象关系模型 图4：假言命题真值卦值关系模型
在图3中，之所以要用实质(真值)蕴涵号“→”来表示各真值有序组间的蕴涵关系，是因为其对应真值的蕴涵关系皆为真(其中：“真蕴涵真为真”、“假蕴涵真为真”、“假蕴涵假亦为真”)。
由于逻辑矛盾命题 和 的真值函数必须用对立项( )即p↮q的互斥关系(“非此即彼”或“非彼即此”)来表达，故：
↮ (这里， 和 的真值完全相反)
而辩证矛盾命题 和 的真值函数必须用中和项( )即p↔q的互蕴关系(“亦此亦彼”或“亦非此亦非彼”)来表达，故：
↔ (这里， 和 的真值完全相同)
这就不得不使笔者预感到：东西方矛盾观的形式演算研究如果真达到了 ↮ 和 ↔ 的对立统一水平( )，那么凭借着老子所解之道以及正反大范畴的相反互蕴关系模式，即⊢□[ ⇌ ] [3]293，我们就可断言这种研究工作的完全性就算有定论了！
因为哥德尔( )第一不完全性定理已证明：一个包含初等数论的形式系统P如果是一致的，那么它就是不完全的。
这也可说：在形式系统 一致(即在 ↮ 为真贯穿全系统)的条件下，存在一个命题 , 本身和它的逻辑否定命题 都不是该系统 的定理( 和 皆不可证)。由此 系统是不完全的。
但因为 ↔ ,若 可证且为真,则 也可证且为真。这 可证且为真就说明：
由于原形式系统 是不完全的，因此必须将 系统扩展为更大的包含有 ↔ 的形式系统，使其既包含 系统( )又包含 系统( )。
这个新系统就是：
既无逻辑矛盾命题( ↮ )又有辩证矛盾命题( ↔ )贯穿其始终的、既具有一致性( ↮ 和 ↮ )又具有完全性( ↔ ∪ ↮ ＝ ∪ ＝ ⊂ )的正反数理逻辑系统。
此系统也说明：悖论 ↔ (可姑且用它表示异于后两类矛盾命题的悖论命题形式)不存在于正反数理逻辑系统中(即形式逻辑和辩证逻辑之合的系统)中，因为作为中项的有辩证矛盾命题 ↔ ( )和作为对项的无逻辑矛盾命题 ↮ ( )事实上已经穷尽了矛盾命题的一切可能：
∵ ∩ ＝φ，∴ ( ↔ )∩( ↮ )＝φ；
∵ ∪ ＝ｕ，∴ ( ↔ )∪( ↮ )＝ ＝ｕ．
从真值函数有序组看， ↔ 的有序组是<1,0,0,1>，而( ↮ )有序组是<0,1,1,0>。此两真值有序组的合取演算是：
<1,0,0,1>∧<0,1,1,0>＝<0,0,0,0>
而其析取演算是：
<1,0,0,1>∨<0,1,1,0>＝<1,1,1,1>
真值有序组<0,0,0,0>的卦值是0(它就是经典数理逻辑的矛盾式或永假式“pＦq”的卦值)，它对应着此两类矛盾命题的交集(∩)即空集(φ)，而真值有序组<1,1,1,1>的卦值是 15(它就是经典数理逻辑的重言式或永真式“pＴq”的卦值),它对应着此两类矛盾命题的并集(∪)即全集(ｕ)。由此，欲将悖论视作是独立于前两类矛盾命题之外的又一类矛盾命题，并硬将其与前两类矛盾命题并列，这种做法其实是根本就站不住脚的！
既然如此，悖论 ↔ 就不是异于逻辑矛盾命题 ↔ 和辩证矛盾命题 ↔ 的第三类独立存在着的矛盾命题，悖论其实仅只是有待于解析的尚待明晰化的或者逻辑矛盾命题或者辩证矛盾命题。
在某种意义上可以说，哥德尔的第一不完全性定理正预示了数理辩证逻辑的出现，因为 系统( )的不完全性恰恰需要 系统( )来补充，由此构成正反数理逻辑的 系统( )──这其实就是恩格斯所说的关于“非此即彼”(或“非彼即此”)的逻辑矛盾命题( ↮ )和“亦此亦彼”(或“亦非此亦非彼”)的辩证矛盾命题( ↔ )之互补完全性的对立统一的命题系统。
为何需补上 系统呢？因为辩证逻辑其实就是反映对象世界之矛盾的逻辑。这种对象逻辑所体现的正是对象世界中客观存在着的可“同世而立”的正反矛盾对象及其相反互蕴的逻辑关系，它完全不同于形式逻辑中所说的逻辑矛盾关系。任何不反映对象世界之矛盾关系的理论皆是片面性的理论，由此，依据这类片面性理论进而抽象所得的不反映对象世界之矛盾关系的形式系统，尽管它是一致的(即无逻辑矛盾的)，但它也是片面的形式系统。哥德尔第一不完全性定理所说的形式系统，也包括经典数理逻辑的形式系统，由此，经典数理逻辑的形式系统也是不完全的。
这从美籍数理逻辑学家王浩教授晚年与朱水林研究员的谈话可窥见一斑：
“哥德尔晚年时，十分强调关于概念的逻辑，关于概念内涵的逻辑。”
哥德尔还强调：
“这种概念的逻辑是最最重要的，甚至可以说，这才是真正的逻辑。”[4]
众所周知，概念内涵的逻辑就是辩证逻辑。列宁曾说：
“辩证法一般地就是‘思维在概念中的纯粹运动’(不 带唯心主义的神秘意味来说就是：人的概念并不是不动的， 而是永恒运动的，相互转化的，往返流动的；否则，它们就 不能反映活生生的生活。对概念的分析、研究，‘运用概念 的艺术’(恩格斯)，始终要求研究概念的运动、它们的联系、它们的相互转化)。”[5]P255
以上列宁所述的概念的辩证运动本性，就是相反概念之内涵的必然互蕴性。对此，笔者已经用元语言的数理公式示为如下定理：
⊢□[ ⇌ ]
所举第８例所阐述的完全性，也可类似地用于说明第５、第６、第７例的完全性，这里就不多一一赘述。
上述所列，皆是老子道论“一二三”数理模式 的具体显现。[1]这些客观存在着的外延模型既可是反映第一实体即个体或集合体的名词词项，也可是反映实体之功能(第二实体)的谓词即性质或关系词项，还可是反映不同命题大类中的种种小类的命题形式(例如假言命题大类中的不同小类的命题形式,还有模态命题大类中的不同小类的命题形式),它们皆符合中国传统辩证哲学之瑰宝──《易经》阴阳象数学的诸多模式[3]。其中例５．６．７．８．是数学或逻辑中的精神客体，它们如同例１．２．．３．４．之类物质客体一样，其内含的相反互蕴关系也是客观的，也同样是不以人们的主观意志为转移的。人们同样也只能发现而不能发明其中所含的老子道论中的“一二三”数理，此数理即“道生一，一生二，二生三，三生万物，万物负阴而抱阳，冲气以为和”之数理模式：
．[3]P276
【参考文献】
[1]罗翊重.论伏羲图与来氏图的数理关系——对中国传统哲学八大矛盾范畴的数学分析[J].昆明师专学报(哲社版)1992年第2期。
[2]王雨田主编.现代逻辑科学导引(上册)[M].胡耀鼎《C5模态逻辑》P526.中国人民大学出版社,1987.
[3]罗翊重.东西方矛盾观的形式演算(第一卷)——《易经》象数学概论[M].云南科技出版社，1998.
[4]朱水林.增进互相了解共促逻辑发展[J],上海逻辑学会编.传统逻辑与现代逻辑[C].开明出版社1994.
[5]列宁.哲学笔记[M].人民出版社,1956.
(原载《云南学术探索》1997年第1期。)
