传统的逻辑是单调的，即任一理论的定理属于该理论之任一扩张的定理集合。就人的思维而言，情况就不一样了，虽然人们必须通过思考得出某些结论，但在纯逻辑的基础上作推理，常常是不现实或不可能的。

    当增加新逻辑信息时，那些由局部信息得出的结论可能是无效的。这意味着，人们的常识推理不满足单调原则。所谓“非单调推理”是指人们基于不完全信息而推出某些结论，当人们得到完全的信息时，又可以调整或收回这些结论的那种思维活动。非单调逻辑就是对人类这种常识推理做系统化研究的理论。

    人们基于不完全信息得出的结论，未必“有效”，因此在人工知能理论中称这样的结论为“信念（或相信）”，许多学者就“相信”的形式化问题进行探讨，他们基本上都运用模态逻辑的方法处理“相信”的逻辑问题。

    麦克多尔特（Mc Dermott）和多伊尔（Doyle）在1980年发表的论文中将有关的一致性概念看成是模态概念，后来他们通过补充一些公理和推理规则改进了非单调逻辑，并将传统模态逻辑系统的T同S₄和S₅翻译成非单调逻辑。令人遗憾的是，S₄与T系统太弱了，不能包括有关的一致性概念的所有性质。

    卢克斯维奇（W.Lukaszewicz）提出了一个泛框架。他认为，基于该框架上的一致性概念，便可将“相信”概念形式化。以下内容根据他的论文整理而成。

 

（一）语言

   

    为了简明起见，仅限于在命题逻辑语言内构造非单调逻辑，而且所有结论都可推广到一阶语言中去。所运用的命题语言包括：用p、q、p¹、q¹……；连接词﹁（否定）； （如果……那么……）；模式算子M（一致的）；括号（，）。任一公式或是命题字母，或是表达式（﹁α），其中α是公式，或是表达式（α  β），其中α、β是公式。其它连接词按通常含义定义。模式算子L（可证明的），是﹁M﹁α的缩写。括号在方便时可以删去。

 

（二）单调部分

 

    每个非单调理论相当于一个特定公理集。一个理论的演绎结构可分为两部分：第一部分包括逻辑公理集合、单调推理规则集合，这对所有理论都是一样的；第二部分是通过特殊的代数算子来定义该理论的定理。我们首先说明第一部分。

1.     逻辑公理：

A₁.  α （β  α）

A₂. [ α （β  γ）] [（α  β） （α γ）]

A₃.（﹁ β ﹁α） [（﹁β α） β]

A₄. L（α β） （Lα Lβ）

A₅. Lα α

A₆. Mα LMα

2.     单调推理规则：

 R₁. 从α β和 α可推出β

 R₂. 从α可推出Lα 

 

公理A₁——A₃及规则R₁形成了一个古典命题逻辑的公理。公理A₄——A₆及规则R₂是最低限度的条件，如果模态算子满足一致性与可证明性的解释，这个条件就是有效的。设Y为抽象运算，它把理论影射到其定理的公式集中。假定对每一理论A，集合Y（A）包含所有重言式且在规则R₁下封闭，那么就有两个条件应被满足：

      

       (L) α ∈ Y（A），当且仅当，Lα ∈ Y（A）

(M) ﹁α ∉ Y（A）当且仅当，Mα ∈ Y（A），假定β ∉ Y（A），对某些公式β。

 

规则R₂只是（L）的一半。A₄是在对象语言中陈述的肯定前件式规则R₁。A₅在任何情况下都显然是真的。A₆由（L）和（M）得出[注意A₆与L﹁α∪LxMα相等，以任一理论A为例都会出现两种情况:（i）﹁α∈Y（A）；（ii）﹁α ∉ Y（A）。可以看到，R₂、A₅与R₁的结合可以保证（L）。（M）的一部分也是满足的[假定Mα∈Y（A）且对某些β有β ∉（A），则﹁Mα ∉ Y(A)；但﹁Mα  L﹁α，因此由R₂得﹁α ∉ Y（A）]。只是（M）的另一半现在还无法保证它合理，这将在后面讨论。在通常意义下，由公式集S和A₁――A₆的特例，经反复使用R₁――R₂可以证出α，现将它定义为Th(s)={a:s┝ a}。

    A₁——A₆和R₁――R₂形成了一个传统命题模态逻辑S₅的公理化系统。

 

（三）克里普克模型

 

    以下是关于命题模态逻辑S₅的克里普克语义学。

    一个模型是系统K＝（W，m）这里W是可能世界的非空集合，m是一个从命题字母到2^W的映射。

在K＝（W，m）中，关于w∈W的公式α的值，由V（k,w, α）表示，它被定义如下：（i）、V(k,w,P)=1,当且仅当，w∈m(P),这里的P是任一命题字母；（ii）V（k,w, ﹁α）＝1－V（k,w,α）；（iii）V（k,w, α >β）= 1，当且仅当，V（k,w,α）= 0或V(k,u,β)=1；(iv) V(k,w,Mα)=1,当且仅当，对某些u∈W而言，V（k,u, α）= 1。

一个公式α在k(k╞ α)中为真，当且仅当，对每一个w∈W而言，V（k,w,α）=1。公式集s在k 中为真，而且k 是s的一个模型，当且仅当，对每一个α∈s来说，k╞ α。

 

（四）广义的非单调算子

 

上述的单调内容已保证了（L），而且也保证了作为双条件的（M）的一个条件，M中的另一条件关系仍有问题，麦克多尔特试图通过特殊算子NM_A解决这个问题。对每个理论A，NM_A被定义为NM_A（s）＝Th(A∪A_SA(S)),这里A_SA（s）是从s得出的假设集，它由A_SA（s）＝｛Ma: ﹁a ∉ s｝- Th(A)来给出。

    设s为NM_A的固定元素，它可以看作是一个从A获得的公式集（其中A是由（M ）扩大的单调规则形成的），并满足由A非单调地导出的定理集的需要。但是，对一个给定的理论A，一般来讲，在那个算子之下有许多固定元素。此外，它们中的每一个在下列意义上是最小的：如果S₁、S₂是NM_A的固定元素，那么s₁≤s₂蕴含s₁﹦s₂。因此唯一可行的解决办法就是使从A非单调地得到的定理集合等同于所有NM_A之固定元素的交集。不幸的是，所得到的逻辑是单调的模态逻辑S₅。

    为了解决这个问题，就要在研究中改变一下观念。我们将把非单调逻辑看作是基于一致性概念的信念的一种形式化，以此来改变将一致性概念形式化，并将非单调现象看作某种产生形式系统的边际效应的这种观念。首先来考虑理论A，从直接的逻辑观点看，关于A的全部的有效的内容都包括在Th（A）中。现在，如果这个内容是不充分的，而且不能增加新的公理，那么就只有一种可能性，即在启发式基础上扩充这个理论。当然，如果s是A的启发式扩展，那么，从Th（s）- Th(A)得到的公式将被认作是关于相信概念的定理。

    还有个问题是怎样说明这样一个扩展，公理的语法形式可以给我们某些启发。例如，理论A＝｛MP q｝。虽然A有无穷多扩展，但人们觉得首先应选择包涵MP，因此也包涵q的那种扩展。这是由于我们试图把MP看作逻辑真理的结果，当然，MP是无效的。要解决某些事情是否是一致的，人们就必须回答这个关键性问题：与什么一致？最简单的回答：与理论本身一致，这是不能接受的。P与﹁q是同时与A一致的，然而MP与M﹁q同时有效就会导致不一致性。一致性的正确解释是将理论本身与所有的信念放在一起考查。有了这种思想，就会清楚地看到：MP的真值依靠于我们所持有的关于理论的信念。无论如何，M可以一致地加到A上，似乎这是唯一的选择。

    上面的讨论所要指出的是，从一个理论非单调地获得的定理集合应与从该理论的某些扩展单调地得到的定理集合一致。我们要通过选择一个合适的假设集合来说明这个扩展。为了使这个思想可行，我们将算子NM_A概括如下：

设A为理论，s和T为公式集，我们把广义的非单调算子NM_A，_T，定义为NM_A，_T（s）＝ ,这里的“ ”是从s得到的关于T的假设集，它通过

=﹛Mα：α∈T和﹁a ∉ s﹜- Th（A）给定。

 

    <,/SPAN>直观地讲，集合﹛Mα：α∈T﹜形成了关于理论A的合适的假设集合。

    下面将提出一个非单调逻辑的一般定义。依靠非单调逻辑，我们可以理解从公式集到公式的任意函项f。直观地讲，f是一种映射，这个映射把每一理论A指派给一个集合f（A），它使得集合﹛Mα：α∈f（A）﹜是A的从优选择的假设集。或者说，我们可以把“非单调逻辑”这个词理解为从公式集到公式的任意函项f。

    如果f是一非单调逻辑且A是一个理论，那么从A非单调地得到的定理集合，用Th(A)表示，它是NM_A，f(A)所有固定元素的交集。

 

（五）非单调逻辑的语义学

 

    非单调逻辑语义学建立在模态逻辑S₅的模型之上。

    设K为模型，T为公式集。M（k,T）表示集合﹛Mα：α∈T且k╞  Mα）﹜。　　

    理论A的模型k是关于T的M极大的，当且仅当，对A的每一模型K₁来说，M（k,T）C（k₁,T）蕴含M（k,T）= M(k₁,T)。

    以下是完全性定理：

定理5.1   设f是一个非单调逻辑。对每一理论A和公式α来讲，α∈Th(A)，当且仅当，α在每个关于f(A)的A的M极大模型中为真。

 

（六）缺陷理论

 

以下讨论一种属于非单调逻辑的理论，名为“缺陷理论”。我们通过PC表示古典命题演算。理论A是缺陷理论，当且仅当，A的每一公理属于PC或具有下列形式：

       δ＆Mβ₁＆…＆Mβ_n  γ或

       Lδ＆Mβ₁＆…＆Mβ_n γ或

       Mβ₁＆…＆Mβ_n γ

这里δ，β₁，……，β_n，γ∈PC。

    设α为缺乏理论的一个公理，我们用下列等式给出P（α）的内容：

    P（α）＝ 如果，α∈PC，那么空集也属于｛β₁，……，β_n｝。

如果A是一缺陷理论，那么P（A）就指集合∪P（α）

                                         ^α∈A

    对缺陷理论而言，选择恰当的非单调逻辑是简单易行的，唯一合理的选择对象就是指派给理论A以集合P（A）的函项。

    从定理5.1中，我们可以得到下面的陷理论的完全性定理：

定理6.1   设A为一个缺陷理论，对每一个定理α而言，α∈TH(A)，当且仅当，α在关于P（A）的A的每一M极大模型中为真。

 

【参考文献】

1.McDermott,D.,Nonmontonic LogicsⅡ:non-monotonic modal theories,Journal of the Association for Computing Machinery 29,N_O1,1982,33-57.

2.McDermott,D.,Doyle,J.,Non-monotonic LogicI,Artificial Intelligence 13, 1980,41-72.

3.Reiter,R.,A Logic for default reasoning, Artificial Intelligence13,1980,81-132.

4.《国际人工智能大会论文集》,1983年，W.Lukaszewicz,General Approactl to Nonmonotonic Logic.

5.马希文：《人工智能中的逻辑问题》,《哲学研究》1985.1.33-39.

                                                              

 

原载崔清田、潘道江主编《今日逻辑科学》第154-161页，天津教育出版社1990年6月版。