【张家龙】罗素的逻辑主义及其在数理逻辑史上的地位

20世纪初, 在逻辑和数学中发现了许多悖论, 包括罗素本人所发现的悖论(后被称为罗素悖论) 。这些悖论动摇了数学的基础, 史称第三次数学危机。为了解决这一次数学危机, 罗素提出了逻辑主义的纲领, 并得到一些著名的逻辑学家的支持, 成为数理逻辑中的三大学派之一。本文旨在对罗素的逻辑主义作出全面的科学的评述。

一、数学概念和数学定理的推导

罗素的逻辑主义包含两个部分: (1) 数学概念可以通过显定义从逻辑概念推导出来; (2) 数学定理可以通过纯逻辑推演(即一阶逻辑演算) 由逻辑公理推导出来。罗素所使用的逻辑概念有: 命题联结词(否定, 析取, 合取, 蕴涵) ; 函项和量词(全称量词和存在量词) ; 等词。

弗雷格成功地用逻辑概念定义了自然数, 而罗素独立于弗雷格也获得了相同的结果。这种方法的关键在于, 自然数不是属于事物而是属于概念的逻辑属性(按罗素的定义, 数是某一个类的数, 而一个类的数是所有与之相似的类的类) 。其它种类的数———正数、负数、分数、实数和复数, 不是用通常增加自然数的定义域的方法来完成的, 而是通过构造一种全新的定义域来实现的。罗素在将数的概念向前推广时, 认为自然数并不构成分数的子集, 自然数3与分数3 /1不是等同的; 同样, 分数1 /2同与它相联系的实数也不是等同的。关于正负整数, 罗素认为, + 1与- 1是关系, 并且互为逆关系。+ 1是n + 1对n的关系, - 1是n对n + 1的关系。一般地, 如果m是任何归纳数, 对任何n而言, +m是n +m对n的关系, - m是n对n +m的关系。+m与m不同, 因为m不是一个关系,而是许多类的一个类。m /n被定义为, 当xn = ym时, 二归纳数x和y之间的一个关系。m /1是x, y在x =my情形下所具有的关系。这个关系如同关系+m一样决不能和m等同, 因为关系和一个类的类是完全不同的两个东西。罗素说, 在实用上, 只要我们了解分数1 /1和基数1并不相同, 就不必常常拘泥于这个区别。正负分数可以用类似于正负整数的方法而定义。实数的定义比较复杂一点。罗素发展了戴德金的实数论, 作出了实数的定义。首先定义分数之间的大于或小于关系。给定两个分数m /n和p /q, 如果mq小于pn, 则m /n小于p /q。这样定义的小于关系是序列关系, 因而分数形成以大小为序的序列。戴德金证明了, 有理数以明显的方式与分数相对应, 无理数对应于分数序列的“间隙”。例如, 把正分数分成两类: 所有平方小于2的分数组成一类; 其余分数组成另一类。这种分法就形成分数序列的一个“分割”, 它对应于无理数2。因为不存在其平方等于2的分数, 所以第一类(“下类”即较小的一类) 不包含最大的元素, 第二类(“上类”即较大的一类) 不包含最小的元素。因此, 每一个实数都对应于分数序列的一个分割, 分割中的间隙对应于无理数。

这样, 罗素把实数定义为: 分数序列中相应分割的下类。例如, 根号2是其平方小于2的那些分数的类; 1 /3是所有小于1 /3的分数的类。由这些定义, 整个实数算术都可以导出。这里, 实数的定义是“构造的”。一个复数可以简单地看成是有先后次序的一对实数。

构造主义的方法是逻辑主义的一个重要部分。逻辑主义者用类似于定义实数的方法引进其余的数学概念。例如, 分析中的收敛、极限、连续性、微分、微商和积分, 集合论中的超穷基数、序数。

罗素在推导数学的过程中发现, 除逻辑公理外, 还需要另外的一些特殊公理, 即无穷公理和乘法公理(选择公理) 。无穷公理是说, 若n是一个归纳基数, 则至少有一个类有n个个体。由此得到:如果n是一个归纳基数, 并且至少有一个类有n个分子, 那么n不等于n + 1。无穷公理保证了确有一些类有n个分子, 于是我们才能断定n不等于n + 1。没有这个公理, 可能n和n + 1都是空类。乘法公理是说, 对于不相交的非空集合所组成的每个集合至少存在一个选择集合, 也就是说这个集合与每一个集合恰好有一个共同元素。

二、逻辑类型论

为了解决悖论, 并实现逻辑主义论题, 罗素提出了逻辑类型论。罗素在1903年出版的《数学的原则》( The Principles ofM athem atics) 一书中最早提出类型论; 而在1908年的论文《以类型论为基础的数理逻辑》和1910—1913年与怀特海合著的《数学原理》中, 则全面系统地论述了逻辑类型论。逻辑类型论分两部分: 简单类型论和分支类型论。简单类型论同分支类型论是结合在一起的, 但又具有独立性, 并与下面将要说到的恶性循环原则无关。简单类型论的中心思想是, 把类或谓词分为不同的层。

第0层谓词: 包括一切个体(个体常项和变项) , 这些实体的类型记为0。

第1层谓词: 这是取个体为变目的谓词, 包括个体的属性、个体之间的关系。前者的类型记为(0) , 后者的类型记为(0, 0) , (0, 0, 0) 等等。

第2层谓词: 其空位被个体或第1层谓词填补, 并且至少出现一个第1层谓词作为变目。第2层谓词也根据它的空位的个数及种类而分成不同的类型。个体属性的属性, 其类型记为( ( 0) ) , 二元谓词(关系) 的一个属性, 其类型记为( (0, 0) ) , 等等。

第3层谓词、第4层谓词等等可类推。一个谓词如果其变目属于≤n层并且至少有一个变目是第n层的, 那么它便属于第n + 1层。第i层谓词能够有意义地述说第j层谓词, 当且仅当i = j + 1。第j层谓词不能有意义地述说同层的谓词。在逻辑系统中引入简单类型论以后, 罗素悖论等逻辑悖论就可以消除, 因为这些悖论的发生是由于混淆了不同层的谓词所致。例如, 在罗素悖论中, 定义类的谓词记为< ^y (这里“^y”是一个空位记号) , 由它所定义的类记为“^y ( <y) ”。根据简单类型论, “< { ^y( <y) } ”一定是无意义的, 因为^y( <y)是一个类, 其层数高于它的定义谓词< ^y的变目的层数。因此,我们不能说: “一个类是或不是自身的元素”, 从而“由所有不是自身元素的类组成的类”是无意义的。

简单类型论不能消除说谎者悖论等语义悖论, 于是为了处理这些悖论, 罗素引进了分支类型论。分支类型论是以恶性循环原则为基础的。罗素说: “使我们能够避免不合法总体的那个原则, 可以陈述如下: ‘凡牵涉到一个汇集的全体者, 它本身不能是该汇集的一分子’; 或者, 反过来说, ‘如果假定某一汇集有一个总体, 它便将含有一些只能用这个总体来定义的分子, 那么这个汇集就没有总体’。我们把上述原则叫做‘恶性循环原则’, 因为它能使我们避免那些由假定不合法的总体而产生的恶性循环。” (Whitehead and Russell, pp. 37 - 38) 恶性循环原则强调的是, 总体不能包含只有通过这个总体来定义的分子。分支类型论就是在恶性循环原则的基础上对命题函项(广义的谓词) 所作的一种分类, 其核心是在类型中再区分出阶。为简化起见, 下面我们只考察个体的谓词这一类型。

个体是零阶函项。给定一个固定的论域(由个体x, y, ⋯组成的个体域) 以及其中的一些函项(谓词) 。<x, ψ( x, y) , χ( x, y, z⋯)这些公式称为母式, 即不包含约束变元的公式, 除个体外没有其它变目。由这些母式可以得到x的其它函项, 例如: ( y). ψ( x, y) , (v y). ψ( x, y)等。所有这些函项都没有预设除个体的总体之外的总体。母式和这类函项称为“一阶函项”。

在一阶函项的基础上便可构造二阶函项。把一阶函项当作一个新的域, 加到原有的个体域上去,得到一个扩大的论域。“<! ^y” [ “^y”是空位符号, <! ^y即<! ( ) ] 代表一个一阶函项变元, “<! y”代表这样一个函项的任一个值。“<! x”是包含两个变元的函项, 一个是<! ^y, 另一个是x。“( x). <! x”是包含变元<! ^y的一个函项。由于引进一阶函项变元, 因而就有在新的论域上的一组母式。如果a是个体常项, 那么<! a就是变元<! ^y的一个函项。如果a和b是个体常项, 那么“<! a蕴涵ψ! b”就是两个变元<! ^y和ψ! ^y的一个函项, 如此等等。因此以下公式:

f ( <! ^y) , g( <! ^y, ψ! ^y) , F ( <! ^y, x) ,

就是包含个体和一阶函项作为变目的母式, 被称为二阶母式(其中不必含有个体作为变目) 。由以上母式可得到以下函项:

( <). g( <! ^y, ψ! ^y) , 它是ψ! ^y的函项; ( x). F ( <! ^y, x) , 它是<! ^y的函项;

( <). F ( <! ^y, x) , 它是x的函项。

二阶母式以及从二阶母式导出的量化公式称为二阶函项。也就是说, 二阶函项包含一阶函项作为变元, 也可包含个体变元, 但不包含其它变元。

仿照以上方法可构成三阶函项和更高阶的函项。与命题函项类似, 我们可构成各阶的命题。由上可见, 如果在一个命题函项中出现的变元的最高阶数为n, 那么当有一个属于n阶的变元的两次出现时, 该命题函项的阶数为n + 1。对于命题函项的阶数, 还要看命题函项的变目, 这时阶数必须高于所有变目的阶数。当确定一个命题函项的阶数时, 还要考虑作为缩写用的记号的表达式中所出现的阶数, 例如, F ( <! ^y, x)是一个缩写, 表明这是<! ^y和x的函项, 因此该函项为二阶。通过以上的分阶, 我们可得到两个结果:

第一, 可以把每个命题、性质或关系作为被断定的对象;

第二, 因为只允许依次构成的各个阶的命题函项, 又因为对于某个阶的函项, 它所涉及的对象总体是明确地限定于某一论域之中的, 所以就能避免“所有命题”、“所有谓词”这种不合法的总体。

使用分支类型论, 语义悖论便可消除。例如说谎者悖论可以写成: “我断定p, 而p是假的”。如果p是n阶命题, 那么p在其中作为约束变元出现的命题“我断定p, 而p是假的”为n + 1阶, 可记为q, q比p高一个阶, 它不能作为p 的一个值进行代入, 因此不会产生悖论。换句话说, 如果p具有n阶的真或假, 那么q就具有n + 1阶的真或假。我们可以认为, “我在某一时刻所说的所有一阶命题都是假的”这句话是真的, 而不会引起悖论, 因为这句话本身是二阶命题。

分支类型论有许多弊端。按照分支类型论, 我们不能说一切个体谓词如何, 而要分成阶。对于实数, 不能说所有实数如何, 只能涉及具有确定的阶的实数。属于一阶的那些实数, 在其定义中不出现“对于所有实数”这种短语; 属于二阶的那些实数, 在其定义中只能出现“所有一阶实数”这种短语, 如此等等。这样一来, 就失去了实数理论中的许多重要定义和定理。为了克服这种困难, 罗素不得已增加了一条可化归性公理。

可化归性公理是说, 每一个非直谓的函项都有一个形式上等值的直谓函项。有了这个公理, 我们就可以用直谓函项替代非直谓函项。直谓函项的特点是: 只要空位的阶确定了, 整个函项的阶也就确定了, 因为n + 1阶直谓函项必含有n阶空位。只根据空位划分类型, 这是简单类型论的基本原则。因此可化归性公理的作用就是把分支类型论简化为简单类型论。有了可化归性公理, 关于实数的阶的困难可得到解决。我们可以说, 关于实数的命题函项虽有不同的阶, 但对每一个关于实数的高阶命题都有一个相应的直谓函项, 这一函项为同样的有理数所满足而不为其它有理数所满足。同样, 我们可以对有不同阶的命题函项所表达的一类事物作出单一的断定。由于可化归性公理是一个人为的假定,因而遭到很多数学家和逻辑学家的反对: 他们不愿采用分支类型论和可化归性公理, 而是采用简单类型论。罗素在1925年的《数学原理》第二版中放弃了可化归性公理, 但仍采用分支类型论。

1925年, 在《数学原理》第二版出版之后不久, 罗素的学生拉姆赛(Ramsey) 发表了一篇论文《数学基础》, 1926 年又发表了一篇论文《数理逻辑》。他废除了可化归性公理, 并成功地保留了《数学原理》的符号部分, 几乎没有变动。拉姆赛还提出, 悖论分为两组: A组(现在称为逻辑悖论或集合论悖论) 和B组(语义悖论或认识论悖论) 。A组悖论可用简单类型论来排除; B组悖论不能用逻辑符号表示, 应归咎于日常语言的某种缺陷, 在逻辑和数学中不出现。拉姆赛宣布, 分支类型论和可化归性公理在逻辑中是多余的, 只可用于解决B组悖论。1937年, 罗素表示同意拉姆赛的观点。

三、逻辑主义在数理逻辑史上的地位

以罗素为代表的逻辑主义在数理逻辑发展史上具有重要的历史地位。怀特海和罗素的巨著《数学原理》是数理逻辑发展史上的一个里程碑, 也是经典著作, 起了承先启后、继往开来的伟大作用。

可是, 逻辑主义者要从纯逻辑推出全部数学的计划, 遇到了极大的困难:

首先, 必须引进两条非逻辑公理———无穷公理和乘法公理(选择公理) 。无穷公理承认宇宙间个体的数量是无穷的, 没有这条公理, 连最简单的自然数也无法构成。乘法公理是与无穷有关的断定, 是与数量有关的假定, 即保证选择类存在的假定; 它不是逻辑的规律。罗素深知这一点, 他把这两条公理写在需要它们的各数学定理的条件里面, 作为假定。但是这种解决办法并不能真正解决问题。在数学中必须承认有无穷多个自然数, 而不是只承认条件语句“如果有无穷多个个体, 那么自然数存在”。如果一个系统推不出无穷公理, 推不出自然数的存在, 那么它肯定推不出数学。

其次, 《数学原理》系统是以分支类型论为基础的, 而在从逻辑推导数学的过程中, 已暴露出恶性循环原则、分支类型论和可化归性公理的缺陷。实际上, 数学不是建立在逻辑的基础之上, 而是建立在罗素的分支类型论的基础之上; 没有可化归性公理的分支类型论就不能推出全部数学。

虽然从纯逻辑推不出全部数学, 但罗素的逻辑主义在数理逻辑发展史上仍具有重要意义。

首先, 我们认为, 罗素的逻辑主义是一种科学假说。在逻辑和数学中提出假说或猜想, 是一种极其重要的方法论思想, 是促进逻辑和数学发展的有力手段。恩格斯说: “只要自然科学运用思维, 它的发展形式就是假说。一个新的事实一旦被观察到, 对同一类事实的以往的说明方式便不能再用了。从这一刻起, 需要使用新的说明方式———最初仅仅以有限数量的事实和观察为基础。进一步的观察材料会使这些假说纯化, 排除一些, 修正一些, 直到最后以纯粹的形态形成定律。如果要等待材料去纯化到足以形成定律为止, 那就是要在此以前使运用思维的研究停顿下来, 而定律因此也就永远不会出现。” (《马克思恩格斯选集》第4卷, 第336 - 337页) 罗素的逻辑主义就是这样的一种假说。数理逻辑的发展使它得到纯化和修正, 直到最后构成了关于逻辑与数学关系的科学理论。罗素是一位科学家, 以实事求是的精神对这一假说进行了探索。他从纯逻辑演算出发, 增加了两条非逻辑公理, 以分支类型论为基础, 推导出一般算术和集合论, 推导出代数和分析的主要概念。罗素的实践向我们表明, 逻辑与数学有紧密的联系。虽然从纯逻辑推不出全部数学, 但是数学要依赖逻辑: 在构成形式数学系统时, 逻辑具有优先性, 它可以决定一个特殊的数学系统的推理过程。从这一方面来说, 罗素的逻辑主义假说并没有完全失败, 而是得到了部分的成功: 它为弄清数学与逻辑的关系提供了资料。一方面, 逻辑主义表明逻辑与数学有重大区别: 从纯逻辑即一阶逻辑演算推不出数学, 还需要增加非逻辑的公理。伟大的数理逻辑学家哥德尔在1931年证明了像《数学原理》那样的包含自然数算术的形式系统是不完全的, 这就说明, 从逻辑推出全部数学的论题在形式算术系统内无法成立。当然对其它数学系统也无法成立。由此可见, 罗素的研究为哥德尔不完全性定理的建立创造了前提。另一方面,逻辑主义所取得的成果揭示了逻辑与数学的密切关系, 说明数学中的一些主要概念可以化归为纯逻辑的概念, 并说明一阶逻辑演算是各门数学形式化的基础。

其次, 在罗素的逻辑主义中, 包含着极其重要的逻辑理论。第一, 罗素发展了弗雷格的逻辑成果, 建立了一阶逻辑演算, 成为数理逻辑的奠基人之一; 1928年, 希尔伯特和阿克曼出版了《理论逻辑基础》, 纯化和修正了罗素的系统, 总结了自罗素以来的逻辑成果特别是元逻辑的成果, 从而使一阶逻辑成为一门成熟的、科学的、经典的逻辑理论。第二, 罗素提出的简单类型论与公理集合论一起, 为解决由集合论悖论所引起的第三次数学危机起了决定性的作用。简单类型论虽有一些缺点, 但经过纯化, 现在仍然被应用于逻辑与数学的研究之中。第三, 分支类型论虽不适用于数学, 但可用于解决语义悖论, 为后来解决语义悖论的新方案如塔尔斯基的语言层次理论提供了理论前提。

综上所说, 罗素的逻辑主义起初只是关于逻辑与数学的假说, 后来经过逻辑和数学的实践检验,经过纯化和修正, 排除了从纯逻辑推出全部数学的论点, 排除了人为的可化归性公理, 弄清了逻辑与数学的关系, 使其中科学的逻辑理论得以发扬光大, 从而使原来的假说纯化为一种科学的理论, 对逻辑和数学的发展起了巨大的推动作用, 在数理逻辑和数学的发展史上具有不可磨灭的贡献。

这里, 我们要补充说明著名逻辑学家和哲学家蒯因(W. Quine) 对罗素的逻辑主义所作的发展。(参见《蒯因著作集》第1卷中的《数理逻辑》, 第4卷《从逻辑的观点看》中的《数理逻辑的新基础》) 他在1937年构建了一个包含集合论在内的逻辑系统NF ( 1940年又构造了比NF更强的系统ML) , 不但不用分支类型论和可化归性公理, 而且也不用简单类型论; 其推演能力强于《数学原理》的系统, 无需无穷公理。总之, NF系统是《数学原理》系统的改进和发展。蒯因试图以此证明逻辑主义是正确的。实际上, 蒯因的NF系统是公理集合论的形式, 它并没有把数学化归为纯逻辑, 而是化归为包含公理集合论在内的逻辑系统。的确, 它有结构简单的优点。但是, 纯逻辑(一阶逻辑)和公理集合论虽然都属于广义的数理逻辑, 但集合论就其性质而言属于数理逻辑中的数学方面。蒯因在1970年改变了原来的观点, 认为集合论是一种数学理论。由此可见, 蒯因的NF系统也未能实现逻辑主义原来想要达到的从纯逻辑推出全部数学的目标。蒯因的研究工作更证明了我们对逻辑主义所作的评价, 使我们更加明确了纯逻辑与数学的辩证关系。同时, 蒯因所构造的NF和ML系统向人们展示了一个逻辑主义的公理集合论系统, 对集合论的发展具有重要意义。

 

【参考文献】：

《蒯因著作集》, 2007年, 涂记亮和陈波主编, 中国人民大学出版社。

《马克思恩格斯选集》, 1995年, 人民出版社。

Whitehead and Russell, 1925, Principia M athem atica, vol. 1, second edition, Cambridge

 

（原载：《哲学研究》，2007年第9期。录入编辑：中庸）